Номер 16.41, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.41, страница 390.

Условие.

16.41°

Каким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и комплексными числами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и комплексными числами устанавливается через их геометрическую интерпретацию на так называемой комплексной плоскости (или плоскости Аргана-Гаусса).

Этот процесс основан на следующих принципах:

1. Используется стандартная двумерная декартова система координат.

2. Горизонтальная ось (ось абсцисс $Ox$) называется действительной осью ($Re$). На ней откладывается действительная часть комплексного числа.

3. Вертикальная ось (ось ординат $Oy$) называется мнимой осью ($Im$). На ней откладывается мнимая часть комплексного числа.

Таким образом, каждому комплексному числу в алгебраической форме $z = a + bi$ ставится в соответствие единственная точка $M$ на плоскости с координатами $(a, b)$. И наоборот, каждой точке $M(a, b)$ на плоскости соответствует единственное комплексное число $z = a + bi$.

Например:

• Числу $z_1 = 2 + 3i$ соответствует точка с координатами $(2, 3)$.

• Действительному числу $z_2 = -4$ (то есть $-4 + 0i$) соответствует точка $(-4, 0)$ на действительной оси.

• Чисто мнимому числу $z_3 = 5i$ (то есть $0 + 5i$) соответствует точка $(0, 5)$ на мнимой оси.

Это соответствие является взаимно однозначным (биективным), поскольку:

• Два разных комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ не могут соответствовать одной и той же точке, так как для их равенства необходимо, чтобы $a_1=a_2$ и $b_1=b_2$.

• Для любой точки $(a, b)$ на плоскости всегда найдется соответствующее ей комплексное число $z = a + bi$.

Такое представление позволяет не только однозначно сопоставить числа и точки, но и геометрически интерпретировать операции с комплексными числами. Например, комплексное число $z = a + bi$ можно также представить в виде радиус-вектора, идущего из начала координат в точку $(a, b)$.

Ответ: Взаимно однозначное соответствие устанавливается путем сопоставления каждого комплексного числа вида $z = a + bi$ с точкой, имеющей координаты $(a, b)$ на координатной плоскости, где горизонтальная ось является действительной осью (для $a$), а вертикальная — мнимой осью (для $b$).