Номер 16.46, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.46, страница 390.

Условие.

16.46 Какое геометрическое истолкование можно дать сумме и модулю разности комплексных чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Сумма комплексных чисел

Каждое комплексное число $z = a + bi$ можно представить на комплексной плоскости в виде радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку с координатами $(a, b)$.Пусть даны два комплексных числа $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$. Их сумма $z_s = z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i$.На комплексной плоскости этому числу $z_s$ соответствует вектор с координатами $(a_1 + a_2, b_1 + b_2)$.

Координаты результирующего вектора равны сумме соответствующих координат исходных векторов, что соответствует правилу сложения векторов в геометрии. Геометрически сложение двух векторов, соответствующих числам $z_1$ и $z_2$, можно выполнить по правилу параллелограмма. Вектор суммы $z_1 + z_2$ будет диагональю параллелограмма, построенного на векторах, соответствующих $z_1$ и $z_2$, как на сторонах, и выходящей из их общего начала. Также можно использовать правило треугольника: к концу вектора, изображающего $z_1$, пристраивается вектор, изображающий $z_2$. Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, будет изображать их сумму.
Ответ: Сумма двух комплексных чисел геометрически представляется вектором, который является векторной суммой двух векторов, соответствующих слагаемым. Этот вектор-сумма является диагональю параллелограмма, построенного на векторах-слагаемых.

Модуль разности комплексных чисел

Пусть, как и ранее, комплексным числам $z_1 = a_1 + b_1i$ и $z_2 = a_2 + b_2i$ соответствуют точки $M_1(a_1, b_1)$ и $M_2(a_2, b_2)$ на комплексной плоскости.Разность этих чисел $z_d = z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$.

Модуль комплексного числа $z = x + yi$ определяется по формуле $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ и геометрически равен длине вектора, соответствующего числу $z$, то есть расстоянию от начала координат до точки $(x, y)$.Вычислим модуль разности:$|z_1 - z_2| = |(a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i| = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}$.

Полученное выражение является формулой расстояния между двумя точками на плоскости с координатами $(a_1, b_1)$ и $(a_2, b_2)$. Следовательно, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, которые представляют эти числа на комплексной плоскости. Также это можно интерпретировать как длину вектора $\vec{M_2M_1}$, соединяющего точку, соответствующую $z_2$, с точкой, соответствующей $z_1$.
Ответ: Модуль разности двух комплексных чисел $|z_1 - z_2|$ геометрически равен расстоянию между точками на комплексной плоскости, соответствующими этим числам.