Номер 16.49, страница 390 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.49, страница 390.

Условие.

16.49 a) $|z - 4| = |z + 4i|;$

б) $|z + 2| = |z + 2i|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Для решения уравнения $|z - 4| = |z + 4i|$ представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + yi$, где $x$ и $y$ являются действительными числами.

Подставим это представление в исходное уравнение:
$|(x + yi) - 4| = |(x + yi) + 4i|$
Сгруппируем действительные и мнимые части в каждом выражении под знаком модуля:
$|(x - 4) + yi| = |x + (y + 4)i|$

Модуль комплексного числа вида $a + bi$ вычисляется по формуле $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Применим эту формулу к обеим частям нашего уравнения:
$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 4)^2}$

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат. Это является равносильным преобразованием, так как обе части неотрицательны.
$(x - 4)^2 + y^2 = x^2 + (y + 4)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и квадрата суммы:
$x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + y^2 + 8y + 16$

Теперь упростим полученное выражение. Одинаковые слагаемые $x^2$, $y^2$ и $16$ в левой и правой частях взаимно уничтожаются:
$-8x = 8y$

Разделив обе части на 8, мы получаем окончательное уравнение, связывающее $x$ и $y$:
$y = -x$

Это уравнение прямой на комплексной плоскости. Геометрически, исходное уравнение $|z - z_1| = |z - z_2|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 4$ и $z_2 = -4i$. Такое множество точек является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $(4, 0)$ и $(0, -4)$, что и задается уравнением $y = -x$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих уравнению, — это прямая $y=-x$ на комплексной плоскости.

б)

Рассмотрим уравнение $|z + 2| = |z + 2i|$. Решим его аналогичным образом, представив $z$ в виде $z = x + yi$.

Подставим $z$ в уравнение:
$|(x + yi) + 2| = |(x + yi) + 2i|$
Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить действительную и мнимую части:
$|(x + 2) + yi| = |x + (y + 2)i|$

Используя формулу для модуля комплексного числа $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$, получаем:
$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y + 2)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x + 2)^2 + y^2 = x^2 + (y + 2)^2$

Раскроем скобки:
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$

Упростим выражение, сократив одинаковые члены $x^2$, $y^2$ и $4$ с обеих сторон:
$4x = 4y$

Разделив обе части на 4, получаем итоговое уравнение:
$y = x$

Это уравнение также описывает прямую на комплексной плоскости. С геометрической точки зрения, это множество точек, равноудаленных от точек $z_1 = -2$ и $z_2 = -2i$, то есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(-2, 0)$ и $(0, -2)$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих уравнению, — это прямая $y=x$ на комплексной плоскости.