Номер 17.3, страница 394 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.3, страница 394.

Условие.

Запишите в тригонометрической форме комплексное число z, укажите его главный аргумент (17.3–17.6):

17.3 а) $z = \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right);$

б) $z = -3 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);$

в) $z = \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6};$

г) $z = \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Исходное выражение $z = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ не является тригонометрической формой комплексного числа, так как аргументы у косинуса и синуса различны. Для приведения к тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, сначала найдём алгебраическую форму числа $z = x + iy$.

Вычислим значения тригонометрических функций:
$x = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдём модуль $r$ и аргумент $\varphi$:
Модуль: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1$.
Аргумент: так как $x > 0$ и $y > 0$, число находится в первой четверти.
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{2}/2}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{2}/2}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отсюда находим, что аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Это значение принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$, следовательно, является главным аргументом.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$; главный аргумент: $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

б) В выражении $z = -3\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$ множитель перед скобкой отрицательный, а модуль $r$ должен быть неотрицательным. Поэтому представим $-1$ в тригонометрической форме: $-1 = \cos\pi + i \sin\pi$.

$z = 3 \cdot (-1) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right) = 3(\cos\pi + i \sin\pi)\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$.

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются:
$r = 3 \cdot 1 = 3$
$\varphi = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
Таким образом, $z = 3\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4}\right)$.

Аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{4}$ не является главным, так как не принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Чтобы найти главный аргумент, вычтем $2\pi$:
$\operatorname{Arg} z = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi - 8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.
Это значение лежит в промежутке $(-\pi, \pi]$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = 3\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$; главный аргумент: $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$.

в) Выражение $z = \sin\frac{\pi}{6} + i \cos\frac{\pi}{6}$ не является стандартной тригонометрической формой, так как действительная часть представлена синусом, а мнимая — косинусом. Воспользуемся формулами приведения:
$\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$
$\cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Применим эти формулы для $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
$\sin\frac{\pi}{6} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{3\pi - \pi}{6}\right) = \cos\frac{2\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{3}$
$\cos\frac{\pi}{6} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3}$

Подставим полученные выражения в $z$:
$z = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}$.
Это каноническая тригонометрическая форма с модулем $r=1$ и аргументом $\varphi = \frac{\pi}{3}$.
Так как $\frac{\pi}{3} \in (-\pi, \pi]$, это главный аргумент.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}$; главный аргумент: $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

г) В выражении $z = \cos\frac{\pi}{3} - i \sin\frac{\pi}{3}$ стоит знак минус перед мнимой частью. Стандартная тригонометрическая форма требует знака плюс. Воспользуемся свойствами чётности косинуса и нечётности синуса:
$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$
$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$

Перепишем выражение для $z$:
$z = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Теперь число записано в стандартной тригонометрической форме. Модуль $r=1$, аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.
Аргумент $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$, следовательно, он является главным.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$; главный аргумент: $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.