Номер 17.7, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.7, страница 395.
№17.7 (с. 395)
Условие. №17.7 (с. 395)
скриншот условия

17.7 Выполните умножение комплексных чисел:
a) $ \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right); $
б) $ 3 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \cdot 2 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right); $
в) $ 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot 4 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right); $
г) $ 3 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right) \cdot 7 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right). $
Решение 1. №17.7 (с. 395)




Решение 2. №17.7 (с. 395)

Решение 3. №17.7 (с. 395)

Решение 4. №17.7 (с. 395)
Для умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$, используется формула Муавра:
$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$
Согласно этой формуле, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
а) $(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$
В данном случае модули обоих чисел равны 1 ($r_1=1, r_2=1$), а аргументы $\varphi_1 = \frac{5\pi}{3}$ и $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$.
Выполняем умножение:
$1 \cdot 1 \cdot (\cos(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3})) = \cos(\frac{6\pi}{3}) + i \sin(\frac{6\pi}{3}) = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi)$.
Вычисляем значения тригонометрических функций:
$\cos(2\pi) = 1$
$\sin(2\pi) = 0$
Таким образом, результат равен $1 + i \cdot 0 = 1$.
Ответ: $1$.
б) $3(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}) \cdot 2(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4})$
Модули чисел: $r_1=3$, $r_2=2$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{5\pi}{4}$, $\varphi_2 = \frac{7\pi}{4}$.
Перемножаем модули и складываем аргументы:
$3 \cdot 2 \cdot (\cos(\frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) + i \sin(\frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4})) = 6(\cos(\frac{12\pi}{4}) + i \sin(\frac{12\pi}{4})) = 6(\cos(3\pi) + i \sin(3\pi))$.
Вычисляем значения тригонометрических функций (учитывая, что $3\pi$ это то же самое, что и $\pi$ на единичной окружности):
$\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$
$\sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$
Результат: $6(-1 + i \cdot 0) = -6$.
Ответ: $-6$.
в) $2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) \cdot 4(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$
Модули чисел: $r_1=2$, $r_2=4$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{2\pi}{3}$, $\varphi_2 = \frac{5\pi}{4}$.
Перемножаем модули и складываем аргументы:
$2 \cdot 4 \cdot (\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4}) + i \sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4}))$.
Найдем сумму аргументов, приведя дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} + \frac{15\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$.
Произведение равно $8(\cos(\frac{23\pi}{12}) + i \sin(\frac{23\pi}{12}))$.
Так как угол $\frac{23\pi}{12}$ не является стандартным табличным значением, ответ принято оставлять в тригонометрической форме.
Ответ: $8(\cos \frac{23\pi}{12} + i \sin \frac{23\pi}{12})$.
г) $3(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) \cdot 7(\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12})$
Модули чисел: $r_1=3$, $r_2=7$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{7\pi}{6}$, $\varphi_2 = \frac{7\pi}{12}$.
Перемножаем модули и складываем аргументы:
$3 \cdot 7 \cdot (\cos(\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12}) + i \sin(\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12}))$.
Найдем сумму аргументов:
$\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12} = \frac{14\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{21\pi}{12} = \frac{7\pi}{4}$.
Произведение равно $21(\cos(\frac{7\pi}{4}) + i \sin(\frac{7\pi}{4}))$.
Вычисляем значения тригонометрических функций для угла $\frac{7\pi}{4}$:
$\cos(\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Подставляем значения и получаем ответ в алгебраической форме:
$21(\frac{\sqrt{2}}{2} + i(-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{21\sqrt{2}}{2} - i\frac{21\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{21\sqrt{2}}{2} - i\frac{21\sqrt{2}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.7 расположенного на странице 395 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.7 (с. 395), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.