Номер 17.7, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.7, страница 395.

Условие.

17.7 Выполните умножение комплексных чисел:

a) $ \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right); $

б) $ 3 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) \cdot 2 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right); $

в) $ 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \cdot 4 \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right); $

г) $ 3 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right) \cdot 7 \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2)$, используется формула Муавра:

$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Согласно этой формуле, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

а) $(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3})(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$

В данном случае модули обоих чисел равны 1 ($r_1=1, r_2=1$), а аргументы $\varphi_1 = \frac{5\pi}{3}$ и $\varphi_2 = \frac{\pi}{3}$.

Выполняем умножение:

$1 \cdot 1 \cdot (\cos(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{5\pi}{3} + \frac{\pi}{3})) = \cos(\frac{6\pi}{3}) + i \sin(\frac{6\pi}{3}) = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi)$.

Вычисляем значения тригонометрических функций:

$\cos(2\pi) = 1$

$\sin(2\pi) = 0$

Таким образом, результат равен $1 + i \cdot 0 = 1$.

Ответ: $1$.

б) $3(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4}) \cdot 2(\cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4})$

Модули чисел: $r_1=3$, $r_2=2$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{5\pi}{4}$, $\varphi_2 = \frac{7\pi}{4}$.

Перемножаем модули и складываем аргументы:

$3 \cdot 2 \cdot (\cos(\frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4}) + i \sin(\frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4})) = 6(\cos(\frac{12\pi}{4}) + i \sin(\frac{12\pi}{4})) = 6(\cos(3\pi) + i \sin(3\pi))$.

Вычисляем значения тригонометрических функций (учитывая, что $3\pi$ это то же самое, что и $\pi$ на единичной окружности):

$\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$

$\sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$

Результат: $6(-1 + i \cdot 0) = -6$.

Ответ: $-6$.

в) $2(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}) \cdot 4(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$

Модули чисел: $r_1=2$, $r_2=4$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{2\pi}{3}$, $\varphi_2 = \frac{5\pi}{4}$.

Перемножаем модули и складываем аргументы:

$2 \cdot 4 \cdot (\cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4}) + i \sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4}))$.

Найдем сумму аргументов, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} + \frac{15\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$.

Произведение равно $8(\cos(\frac{23\pi}{12}) + i \sin(\frac{23\pi}{12}))$.

Так как угол $\frac{23\pi}{12}$ не является стандартным табличным значением, ответ принято оставлять в тригонометрической форме.

Ответ: $8(\cos \frac{23\pi}{12} + i \sin \frac{23\pi}{12})$.

г) $3(\cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6}) \cdot 7(\cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12})$

Модули чисел: $r_1=3$, $r_2=7$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{7\pi}{6}$, $\varphi_2 = \frac{7\pi}{12}$.

Перемножаем модули и складываем аргументы:

$3 \cdot 7 \cdot (\cos(\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12}) + i \sin(\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12}))$.

Найдем сумму аргументов:

$\frac{7\pi}{6} + \frac{7\pi}{12} = \frac{14\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{21\pi}{12} = \frac{7\pi}{4}$.

Произведение равно $21(\cos(\frac{7\pi}{4}) + i \sin(\frac{7\pi}{4}))$.

Вычисляем значения тригонометрических функций для угла $\frac{7\pi}{4}$:

$\cos(\frac{7\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем значения и получаем ответ в алгебраической форме:

$21(\frac{\sqrt{2}}{2} + i(-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{21\sqrt{2}}{2} - i\frac{21\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{21\sqrt{2}}{2} - i\frac{21\sqrt{2}}{2}$.