Номер 17.11, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.11, страница 395.

Условие.

17.11 Найдите множество точек $z$ комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

а) $0 \le \arg z \le \frac{\pi}{4}$;

б) $\frac{\pi}{4} < \arg z < \frac{\pi}{2}$;

в) $\arg z \le \pi$;

г) $\arg z > \frac{3\pi}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Аргумент комплексного числа $z$, обозначаемый как $\arg z$, представляет собой угол в радианах между положительным направлением действительной оси и вектором, соединяющим начало координат с точкой $z$ на комплексной плоскости. Условие $0 \le \arg z \le \frac{\pi}{4}$ задает множество точек, для которых этот угол находится в пределах от $0$ до $\frac{\pi}{4}$ включительно. Луч, соответствующий углу $\arg z = 0$, — это положительная действительная полуось ($y=0, x \ge 0$). Луч, соответствующий углу $\arg z = \frac{\pi}{4}$ (что равно $45^\circ$), — это луч, выходящий из начала координат под углом $45^\circ$ к положительной действительной оси, с уравнением $y=x$ при $x \ge 0$. Поскольку неравенства нестрогие, искомое множество включает в себя оба этих луча, а также всю область между ними. Это замкнутый угловой сектор. Точка $z=0$ (начало координат) исключается, так как ее аргумент не определен.
Ответ: Множество точек — это замкнутый угловой сектор в первой координатной четверти, ограниченный положительной действительной полуосью и лучом $y=x$ ($x \ge 0$), включая эти лучи, но за исключением начала координат.

б) Условие $\frac{\pi}{4} < \arg z < \frac{\pi}{2}$ задает множество точек, аргумент которых строго больше $\frac{\pi}{4}$ и строго меньше $\frac{\pi}{2}$. Луч, соответствующий углу $\arg z = \frac{\pi}{4}$, — это луч $y=x$ при $x > 0$. Луч, соответствующий углу $\arg z = \frac{\pi}{2}$, — это положительная мнимая полуось ($x=0, y > 0$). Так как неравенства строгие, граничные лучи не входят в искомое множество. Таким образом, мы получаем открытый угловой сектор. Начало координат $z=0$ также исключается.
Ответ: Множество точек — это открытый угловой сектор в первой координатной четверти, заключенный между лучами $y=x$ ($x > 0$) и положительной мнимой полуосью. Граничные лучи и начало координат не входят в множество.

в) Будем считать, что аргумент комплексного числа $\arg z$ принимает значения в диапазоне $[0, 2\pi)$. Тогда условие $\arg z \le \pi$ эквивалентно двойному неравенству $0 \le \arg z \le \pi$. Углу $\arg z = 0$ соответствует положительная действительная полуось, а углу $\arg z = \pi$ — отрицательная действительная полуось. Вместе они образуют всю действительную ось. Углы в интервале $(0, \pi)$ соответствуют точкам, лежащим в верхней полуплоскости ($\text{Im}(z) > 0$). Таким образом, условие $0 \le \arg z \le \pi$ описывает всю верхнюю полуплоскость, включая ее границу — действительную ось. Это множество всех точек $z = x+iy$, для которых мнимая часть $\text{Im}(z) = y \ge 0$. Начало координат $z=0$ исключается.
Ответ: Множество точек — это замкнутая верхняя полуплоскость ($\text{Im}(z) \ge 0$), из которой исключено начало координат $z=0$.

г) Будем считать, что аргумент $\arg z$ принимает значения в диапазоне $[0, 2\pi)$. Тогда условие $\arg z > \frac{3\pi}{2}$ эквивалентно двойному неравенству $\frac{3\pi}{2} < \arg z < 2\pi$. Угол $\arg z = \frac{3\pi}{2}$ (или $270^\circ$) соответствует отрицательной мнимой полуоси ($x=0, y < 0$). Угол $\arg z = 2\pi$ (или $0^\circ$) соответствует положительной действительной полуоси ($y=0, x > 0$). Неравенство является строгим, поэтому граничные лучи не включаются в множество. Область, заключенная между этими лучами, представляет собой четвертую координатную четверть. Это множество всех точек $z=x+iy$, у которых действительная часть $x>0$, а мнимая часть $y<0$.
Ответ: Множество точек — это открытая четвертая координатная четверть, то есть все точки $z=x+iy$, для которых $x>0$ и $y<0$. Граничные полуоси и начало координат не входят в множество.