Номер 17.14, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.14, страница 395.

Условие.

17.14 Возведите в степень с показателем $n = 1, 2, 3, 4, 5$ данное комплексное число $z$ и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам:

а) $z=1$;

б) $z=-1$;

в) $z=i$;

г) $z=-i$;

д) $z=1+i$;

е) $z=1-i$;

ж) $z=-1+i$;

з) $z=-1-i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для комплексного числа $z = 1$:

$z^1 = 1^1 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^2 = 1^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^3 = 1^3 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^4 = 1^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^5 = 1^5 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

Все степени числа $z=1$ равны 1. На комплексной плоскости все они соответствуют одной и той же точке $(1, 0)$ на действительной оси.

Ответ: $z^1 = 1, z^2 = 1, z^3 = 1, z^4 = 1, z^5 = 1$. Все степени соответствуют точке $(1, 0)$.

б) Для комплексного числа $z = -1$:

$z^1 = (-1)^1 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

$z^2 = (-1)^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^3 = (-1)^3 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

$z^4 = (-1)^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^5 = (-1)^5 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

Степени числа $z=-1$ поочередно принимают значения -1 и 1, что соответствует двум точкам $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ на действительной оси.

Ответ: $z^1 = -1, z^2 = 1, z^3 = -1, z^4 = 1, z^5 = -1$. Соответствующие точки: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.

в) Для комплексного числа $z = i$:

$z^1 = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.

$z^2 = i^2 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

$z^3 = i^3 = i^2 \cdot i = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.

$z^4 = i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^5 = i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.

Точки циклически повторяются с периодом 4: $(0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0)$.

Ответ: $z^1 = i, z^2 = -1, z^3 = -i, z^4 = 1, z^5 = i$. Соответствующие точки: $(0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0)$.

г) Для комплексного числа $z = -i$:

$z^1 = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.

$z^2 = (-i)^2 = i^2 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.

$z^3 = (-i)^3 = -i^3 = -(-i) = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.

$z^4 = (-i)^4 = i^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.

$z^5 = (-i)^5 = -i^5 = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.

Точки циклически повторяются с периодом 4: $(0, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 0)$.

Ответ: $z^1 = -i, z^2 = -1, z^3 = i, z^4 = 1, z^5 = -i$. Соответствующие точки: $(0, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 0)$.

д) Для комплексного числа $z = 1 + i$:

$z^1 = 1 + i$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 1)$.

$z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 2)$.

$z^3 = z^2 \cdot z = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(-2, 2)$.

$z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.

$z^5 = z^4 \cdot z = -4(1 + i) = -4 - 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, -4)$.

Ответ: $z^1 = 1+i, z^2 = 2i, z^3 = -2+2i, z^4 = -4, z^5 = -4-4i$. Соответствующие точки: $(1, 1), (0, 2), (-2, 2), (-4, 0), (-4, -4)$.

е) Для комплексного числа $z = 1 - i$:

$z^1 = 1 - i$. Точка на комплексной плоскости: $(1, -1)$.

$z^2 = (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -2)$.

$z^3 = z^2 \cdot z = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2 - 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(-2, -2)$.

$z^4 = (z^2)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.

$z^5 = z^4 \cdot z = -4(1 - i) = -4 + 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 4)$.

Ответ: $z^1 = 1-i, z^2 = -2i, z^3 = -2-2i, z^4 = -4, z^5 = -4+4i$. Соответствующие точки: $(1, -1), (0, -2), (-2, -2), (-4, 0), (-4, 4)$.

ж) Для комплексного числа $z = -1 + i$:

$z^1 = -1 + i$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 1)$.

$z^2 = (-1 + i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -2)$.

$z^3 = z^2 \cdot z = -2i(-1 + i) = 2i - 2i^2 = 2 + 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(2, 2)$.

$z^4 = (z^2)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.

$z^5 = z^4 \cdot z = -4(-1 + i) = 4 - 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(4, -4)$.

Ответ: $z^1 = -1+i, z^2 = -2i, z^3 = 2+2i, z^4 = -4, z^5 = 4-4i$. Соответствующие точки: $(-1, 1), (0, -2), (2, 2), (-4, 0), (4, -4)$.

з) Для комплексного числа $z = -1 - i$:

$z^1 = -1 - i$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, -1)$.

$z^2 = (-1 - i)^2 = (-(1+i))^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 2)$.

$z^3 = z^2 \cdot z = 2i(-1 - i) = -2i - 2i^2 = 2 - 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(2, -2)$.

$z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.

$z^5 = z^4 \cdot z = -4(-1 - i) = 4 + 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(4, 4)$.

Ответ: $z^1 = -1-i, z^2 = 2i, z^3 = 2-2i, z^4 = -4, z^5 = 4+4i$. Соответствующие точки: $(-1, -1), (0, 2), (2, -2), (-4, 0), (4, 4)$.