Номер 17.14, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.14, страница 395.
№17.14 (с. 395)
Условие. №17.14 (с. 395)
скриншот условия

17.14 Возведите в степень с показателем $n = 1, 2, 3, 4, 5$ данное комплексное число $z$ и найдите на комплексной плоскости точки, соответствующие полученным числам:
а) $z=1$;
б) $z=-1$;
в) $z=i$;
г) $z=-i$;
д) $z=1+i$;
е) $z=1-i$;
ж) $z=-1+i$;
з) $z=-1-i$.
Решение 1. №17.14 (с. 395)








Решение 2. №17.14 (с. 395)





Решение 4. №17.14 (с. 395)
а) Для комплексного числа $z = 1$:
$z^1 = 1^1 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
$z^2 = 1^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
$z^3 = 1^3 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
$z^4 = 1^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
$z^5 = 1^5 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
Все степени числа $z=1$ равны 1. На комплексной плоскости все они соответствуют одной и той же точке $(1, 0)$ на действительной оси.
Ответ: $z^1 = 1, z^2 = 1, z^3 = 1, z^4 = 1, z^5 = 1$. Все степени соответствуют точке $(1, 0)$.
б) Для комплексного числа $z = -1$:
$z^1 = (-1)^1 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.
$z^2 = (-1)^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
$z^3 = (-1)^3 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.
$z^4 = (-1)^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
$z^5 = (-1)^5 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.
Степени числа $z=-1$ поочередно принимают значения -1 и 1, что соответствует двум точкам $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ на действительной оси.
Ответ: $z^1 = -1, z^2 = 1, z^3 = -1, z^4 = 1, z^5 = -1$. Соответствующие точки: $(-1, 0)$ и $(1, 0)$.
в) Для комплексного числа $z = i$:
$z^1 = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.
$z^2 = i^2 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.
$z^3 = i^3 = i^2 \cdot i = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.
$z^4 = i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
$z^5 = i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.
Точки циклически повторяются с периодом 4: $(0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0)$.
Ответ: $z^1 = i, z^2 = -1, z^3 = -i, z^4 = 1, z^5 = i$. Соответствующие точки: $(0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0)$.
г) Для комплексного числа $z = -i$:
$z^1 = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.
$z^2 = (-i)^2 = i^2 = -1$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 0)$.
$z^3 = (-i)^3 = -i^3 = -(-i) = i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 1)$.
$z^4 = (-i)^4 = i^4 = 1$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 0)$.
$z^5 = (-i)^5 = -i^5 = -i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -1)$.
Точки циклически повторяются с периодом 4: $(0, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 0)$.
Ответ: $z^1 = -i, z^2 = -1, z^3 = i, z^4 = 1, z^5 = -i$. Соответствующие точки: $(0, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 0)$.
д) Для комплексного числа $z = 1 + i$:
$z^1 = 1 + i$. Точка на комплексной плоскости: $(1, 1)$.
$z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 2)$.
$z^3 = z^2 \cdot z = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(-2, 2)$.
$z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.
$z^5 = z^4 \cdot z = -4(1 + i) = -4 - 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, -4)$.
Ответ: $z^1 = 1+i, z^2 = 2i, z^3 = -2+2i, z^4 = -4, z^5 = -4-4i$. Соответствующие точки: $(1, 1), (0, 2), (-2, 2), (-4, 0), (-4, -4)$.
е) Для комплексного числа $z = 1 - i$:
$z^1 = 1 - i$. Точка на комплексной плоскости: $(1, -1)$.
$z^2 = (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -2)$.
$z^3 = z^2 \cdot z = -2i(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2 - 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(-2, -2)$.
$z^4 = (z^2)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.
$z^5 = z^4 \cdot z = -4(1 - i) = -4 + 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 4)$.
Ответ: $z^1 = 1-i, z^2 = -2i, z^3 = -2-2i, z^4 = -4, z^5 = -4+4i$. Соответствующие точки: $(1, -1), (0, -2), (-2, -2), (-4, 0), (-4, 4)$.
ж) Для комплексного числа $z = -1 + i$:
$z^1 = -1 + i$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, 1)$.
$z^2 = (-1 + i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, -2)$.
$z^3 = z^2 \cdot z = -2i(-1 + i) = 2i - 2i^2 = 2 + 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(2, 2)$.
$z^4 = (z^2)^2 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.
$z^5 = z^4 \cdot z = -4(-1 + i) = 4 - 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(4, -4)$.
Ответ: $z^1 = -1+i, z^2 = -2i, z^3 = 2+2i, z^4 = -4, z^5 = 4-4i$. Соответствующие точки: $(-1, 1), (0, -2), (2, 2), (-4, 0), (4, -4)$.
з) Для комплексного числа $z = -1 - i$:
$z^1 = -1 - i$. Точка на комплексной плоскости: $(-1, -1)$.
$z^2 = (-1 - i)^2 = (-(1+i))^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(0, 2)$.
$z^3 = z^2 \cdot z = 2i(-1 - i) = -2i - 2i^2 = 2 - 2i$. Точка на комплексной плоскости: $(2, -2)$.
$z^4 = (z^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4$. Точка на комплексной плоскости: $(-4, 0)$.
$z^5 = z^4 \cdot z = -4(-1 - i) = 4 + 4i$. Точка на комплексной плоскости: $(4, 4)$.
Ответ: $z^1 = -1-i, z^2 = 2i, z^3 = 2-2i, z^4 = -4, z^5 = 4+4i$. Соответствующие точки: $(-1, -1), (0, 2), (2, -2), (-4, 0), (4, 4)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.14 расположенного на странице 395 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.14 (с. 395), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.