Номер 17.9, страница 395 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.9, страница 395.

Условие.

Найдите $arg \ z$, если (17.9–17.10):

17.9 а) $z = 1$;

б) $z = -1$;

в) $z = i$;

г) $z = -i$;

д) $z = 1 + i$;

е) $z = 1 - i$;

ж) $z = -1 + i$;

з) $z = -1 - i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Аргумент комплексного числа $z = x + iy$ — это угол $\phi$, который образует радиус-вектор точки $(x, y)$ с положительным направлением оси $Ox$ на комплексной плоскости. Аргумент обозначается как $\arg z$. Обычно находят главное значение аргумента, которое выбирается из интервала $(-\pi, \pi]$. Для нахождения аргумента $\phi$ можно использовать формулу $\tan \phi = \frac{y}{x}$ с учетом четверти, в которой находится точка, или найти угол $\phi$ из системы уравнений:$\cos \phi = \frac{x}{|z|}$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|}$,где $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ — модуль комплексного числа.

а) Для комплексного числа $z = 1$, действительная часть $x=1$, а мнимая часть $y=0$. Модуль $|z| = \sqrt{1^2+0^2} = 1$. Находим аргумент $\phi$ из условий $\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{1}{1} = 1$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{0}{1} = 0$. Единственным углом в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющим этим условиям, является $\phi = 0$.
Ответ: $\arg z = 0$.

б) Для комплексного числа $z = -1$, действительная часть $x=-1$, а мнимая часть $y=0$. Модуль $|z| = \sqrt{(-1)^2+0^2} = 1$. Находим аргумент $\phi$ из условий $\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{1} = -1$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{0}{1} = 0$. Единственным углом в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющим этим условиям, является $\phi = \pi$.
Ответ: $\arg z = \pi$.

в) Для комплексного числа $z = i$, действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=1$. Модуль $|z| = \sqrt{0^2+1^2} = 1$. Находим аргумент $\phi$ из условий $\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{0}{1} = 0$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{1} = 1$. Единственным углом в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющим этим условиям, является $\phi = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\arg z = \frac{\pi}{2}$.

г) Для комплексного числа $z = -i$, действительная часть $x=0$, а мнимая часть $y=-1$. Модуль $|z| = \sqrt{0^2+(-1)^2} = 1$. Находим аргумент $\phi$ из условий $\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{0}{1} = 0$ и $\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{-1}{1} = -1$. Единственным углом в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющим этим условиям, является $\phi = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\arg z = -\frac{\pi}{2}$.

д) Для комплексного числа $z = 1 + i$, имеем $x=1$ и $y=1$. Точка $(1, 1)$ находится в первой координатной четверти. Модуль числа $|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi$ можно найти из системы:$\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$Единственный угол в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющий этим условиям, это $\phi = \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\arg z = \frac{\pi}{4}$.

е) Для комплексного числа $z = 1 - i$, имеем $x=1$ и $y=-1$. Точка $(1, -1)$ находится в четвертой координатной четверти. Модуль числа $|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi$ можно найти из системы:$\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$Единственный угол в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющий этим условиям, это $\phi = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\arg z = -\frac{\pi}{4}$.

ж) Для комплексного числа $z = -1 + i$, имеем $x=-1$ и $y=1$. Точка $(-1, 1)$ находится во второй координатной четверти. Модуль числа $|z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi$ можно найти из системы:$\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$Единственный угол в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющий этим условиям, это $\phi = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\arg z = \frac{3\pi}{4}$.

з) Для комплексного числа $z = -1 - i$, имеем $x=-1$ и $y=-1$. Точка $(-1, -1)$ находится в третьей координатной четверти. Модуль числа $|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Аргумент $\phi$ можно найти из системы:$\cos \phi = \frac{x}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$\sin \phi = \frac{y}{|z|} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$Единственный угол в интервале $(-\pi, \pi]$, удовлетворяющий этим условиям, это $\phi = -\frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\arg z = -\frac{3\pi}{4}$.