Номер 17.6, страница 394 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.6, страница 394.

Условие.

17.6 a) $z = 3 + 4i;$

б) $z = 3 - 4i;$

в) $z = 4 - 3i;$

г) $z = 5 - 4i;$

д) $z = 1 + 2i;$

е) $z = -3 - 2i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Задача состоит в том, чтобы представить данные комплексные числа, заданные в алгебраической форме $z = x + yi$, в тригонометрической и показательной (экспоненциальной) формах. Для этого необходимо найти модуль $r$ и аргумент $\phi$ каждого числа.

Модуль комплексного числа вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\phi$ — это угол, который образует радиус-вектор точки, соответствующей комплексному числу, с положительным направлением действительной оси. Главное значение аргумента $\phi$ находится в интервале $(-\pi, \pi]$ и определяется из системы:

$\cos \phi = \frac{x}{r}$

$\sin \phi = \frac{y}{r}$

Тригонометрическая форма имеет вид: $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$.

Показательная форма имеет вид: $z = re^{i\phi}$.

а) $z = 3 + 4i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=3$, мнимая часть $y=4$.
$r = |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в первой координатной четверти ($x > 0, y > 0$).
$\cos \phi = \frac{3}{5}$, $\sin \phi = \frac{4}{5}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

Ответ:
Модуль: $r=5$
Аргумент: $\phi = \arctan\frac{4}{3}$
Тригонометрическая форма: $z = 5\left(\cos\left(\arctan\frac{4}{3}\right) + i \sin\left(\arctan\frac{4}{3}\right)\right)$
Показательная форма: $z = 5e^{i \arctan(4/3)}$

б) $z = 3 - 4i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=3$, мнимая часть $y=-4$.
$r = |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в четвертой координатной четверти ($x > 0, y < 0$).
$\cos \phi = \frac{3}{5}$, $\sin \phi = -\frac{4}{5}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) = -\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

Ответ:
Модуль: $r=5$
Аргумент: $\phi = -\arctan\frac{4}{3}$
Тригонометрическая форма: $z = 5\left(\cos\left(-\arctan\frac{4}{3}\right) + i \sin\left(-\arctan\frac{4}{3}\right)\right)$
Показательная форма: $z = 5e^{-i \arctan(4/3)}$

в) $z = 4 - 3i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=4$, мнимая часть $y=-3$.
$r = |z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в четвертой координатной четверти ($x > 0, y < 0$).
$\cos \phi = \frac{4}{5}$, $\sin \phi = -\frac{3}{5}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-3}{4}\right) = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right)$.

Ответ:
Модуль: $r=5$
Аргумент: $\phi = -\arctan\frac{3}{4}$
Тригонометрическая форма: $z = 5\left(\cos\left(-\arctan\frac{3}{4}\right) + i \sin\left(-\arctan\frac{3}{4}\right)\right)$
Показательная форма: $z = 5e^{-i \arctan(3/4)}$

г) $z = 5 - 4i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=5$, мнимая часть $y=-4$.
$r = |z| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в четвертой координатной четверти ($x > 0, y < 0$).
$\cos \phi = \frac{5}{\sqrt{41}}$, $\sin \phi = -\frac{4}{\sqrt{41}}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{5}\right) = -\arctan\left(\frac{4}{5}\right)$.

Ответ:
Модуль: $r=\sqrt{41}$
Аргумент: $\phi = -\arctan\frac{4}{5}$
Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{41}\left(\cos\left(-\arctan\frac{4}{5}\right) + i \sin\left(-\arctan\frac{4}{5}\right)\right)$
Показательная форма: $z = \sqrt{41}e^{-i \arctan(4/5)}$

д) $z = 1 + 2i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=1$, мнимая часть $y=2$.
$r = |z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в первой координатной четверти ($x > 0, y > 0$).
$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan(2)$.

Ответ:
Модуль: $r=\sqrt{5}$
Аргумент: $\phi = \arctan 2$
Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{5}\left(\cos\left(\arctan 2\right) + i \sin\left(\arctan 2\right)\right)$
Показательная форма: $z = \sqrt{5}e^{i \arctan 2}$

е) $z = -3 - 2i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=-3$, мнимая часть $y=-2$.
$r = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в третьей координатной четверти ($x < 0, y < 0$). Для нахождения главного значения аргумента в этой четверти используется формула $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi$.
$\cos \phi = -\frac{3}{\sqrt{13}}$, $\sin \phi = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{-2}{-3}\right) - \pi = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) - \pi$.

Ответ:
Модуль: $r=\sqrt{13}$
Аргумент: $\phi = \arctan\frac{2}{3} - \pi$
Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{13}\left(\cos\left(\arctan\frac{2}{3} - \pi\right) + i \sin\left(\arctan\frac{2}{3} - \pi\right)\right)$
Показательная форма: $z = \sqrt{13}e^{i(\arctan(2/3) - \pi)}$