Страница 394 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

17.1°

a) Что называют аргументом отличного от нуля комплексного числа $z$?

б) Как можно найти аргумент комплексного числа $z (z \neq 0)$?

а) Аргументом отличного от нуля комплексного числа $z = x + iy$ называется угол $\varphi$ между положительной полуосью действительной оси (осью $Ox$) и радиус-вектором, проведенным из начала координат $O$ в точку $Z(x, y)$, соответствующую этому числу на комплексной плоскости. Угол, отсчитываемый против часовой стрелки, принято считать положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поскольку положение радиус-вектора не изменится при добавлении к углу целого числа полных оборотов ($360^\circ$ или $2\pi$ радиан), аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Если $\varphi$ — одно из значений аргумента, то все множество значений аргумента, обозначаемое $\mathrm{Arg}\,z$, можно найти по формуле:$$ \mathrm{Arg}\,z = \varphi + 2\pi k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z} \text{ (любое целое число)} $$Значение аргумента, которое принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$, называется главным значением аргумента и обозначается $\mathrm{arg}\,z$. Иногда в качестве главного значения выбирают аргумент из промежутка $[0, 2\pi)$.

Ответ: Аргументом отличного от нуля комплексного числа $z$ называют величину угла $\varphi$ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, соединяющим начало координат с точкой, соответствующей числу $z$ на комплексной плоскости.

б) Чтобы найти аргумент $\varphi$ комплексного числа $z = x + iy$ (при условии, что $z \neq 0$), используют его действительную часть $x = \mathrm{Re}(z)$ и мнимую часть $y = \mathrm{Im}(z)$. Модуль числа равен $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Из тригонометрической формы записи комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ следуют соотношения:

Решая данную систему, можно найти $\varphi$. На практике для нахождения главного значения аргумента $\mathrm{arg}\,z \in (-\pi, \pi]$ удобно действовать по следующему алгоритму:

1. Определить знаки действительной части $x$ и мнимой части $y$, чтобы понять, в какой четверти комплексной плоскости находится число.
2. Если $x \neq 0$, можно найти вспомогательный угол с помощью арктангенса. Формула для $\varphi$ зависит от четверти:
   • I и IV четверти ($x > 0$): $\varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$
   • II четверть ($x < 0, y \ge 0$): $\varphi = \pi + \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$
   • III четверть ($x < 0, y < 0$): $\varphi = -\pi + \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)$
3. Если $x = 0$, то число лежит на мнимой оси:
   • Если $y > 0$, то $\varphi = \frac{\pi}{2}$
   • Если $y < 0$, то $\varphi = -\frac{\pi}{2}$
4. Если $y=0$, то число лежит на действительной оси:
   • Если $x>0$, то $\varphi = 0$
   • Если $x<0$, то $\varphi = \pi$

Ответ: Аргумент $\varphi$ комплексного числа $z = x+iy$ можно найти, решив систему уравнений $\cos\varphi = x/\sqrt{x^2+y^2}$ и $\sin\varphi = y/\sqrt{x^2+y^2}$. Практически, его главное значение вычисляют с помощью арктангенса $\mathrm{arctg}(y/x)$, корректируя результат в зависимости от четверти, в которой находится число, и рассматривая отдельно случаи, когда число является чисто действительным или чисто мнимым.

17.2 Приведите пример комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа $z$ имеет вид: $z = r(\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))$, где $r$ — модуль комплексного числа (неотрицательное действительное число), а $\varphi$ — его аргумент (действительное число, угол).

Чтобы привести пример, мы можем взять любое комплексное число в стандартной алгебраической форме $z = a + bi$ и преобразовать его в тригонометрическую. Выберем для примера число $z = 1 + i\sqrt{3}$.

Здесь действительная часть $a = 1$, а мнимая часть $b = \sqrt{3}$.

1. Найдем модуль $r$.
Модуль вычисляется по формуле $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Подставив наши значения, получаем:
$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем аргумент $\varphi$.
Аргумент определяется из системы уравнений: $\cos(\varphi) = \frac{a}{r}$ и $\sin(\varphi) = \frac{b}{r}$.
Подставим наши значения $a, b$ и найденный модуль $r$:
$\cos(\varphi) = \frac{1}{2}$
$\sin(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Угол $\varphi$, для которого выполняются оба этих условия, равен $\frac{\pi}{3}$ (или 60°).

3. Запишем число в тригонометрической форме.
Теперь подставим найденные значения модуля $r=2$ и аргумента $\varphi = \frac{\pi}{3}$ в общую формулу тригонометрической записи:
$z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$.

Это выражение и является примером комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Ответ: $2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$.

Запишите в тригонометрической форме комплексное число z, укажите его главный аргумент (17.3–17.6):

17.3 а) $z = \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right);$

б) $z = -3 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right);$

в) $z = \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6};$

г) $z = \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3}.$

a) Исходное выражение $z = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)$ не является тригонометрической формой комплексного числа, так как аргументы у косинуса и синуса различны. Для приведения к тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, сначала найдём алгебраическую форму числа $z = x + iy$.

Вычислим значения тригонометрических функций:
$x = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Таким образом, $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдём модуль $r$ и аргумент $\varphi$:
Модуль: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1$.
Аргумент: так как $x > 0$ и $y > 0$, число находится в первой четверти.
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{2}/2}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{2}/2}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Отсюда находим, что аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$. Это значение принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$, следовательно, является главным аргументом.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$; главный аргумент: $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

б) В выражении $z = -3\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$ множитель перед скобкой отрицательный, а модуль $r$ должен быть неотрицательным. Поэтому представим $-1$ в тригонометрической форме: $-1 = \cos\pi + i \sin\pi$.

$z = 3 \cdot (-1) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right) = 3(\cos\pi + i \sin\pi)\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)$.

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются:
$r = 3 \cdot 1 = 3$
$\varphi = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
Таким образом, $z = 3\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i \sin\frac{5\pi}{4}\right)$.

Аргумент $\varphi = \frac{5\pi}{4}$ не является главным, так как не принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$. Чтобы найти главный аргумент, вычтем $2\pi$:
$\operatorname{Arg} z = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi - 8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$.
Это значение лежит в промежутке $(-\pi, \pi]$.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = 3\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$; главный аргумент: $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$.

в) Выражение $z = \sin\frac{\pi}{6} + i \cos\frac{\pi}{6}$ не является стандартной тригонометрической формой, так как действительная часть представлена синусом, а мнимая — косинусом. Воспользуемся формулами приведения:
$\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$
$\cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$

Применим эти формулы для $\alpha = \frac{\pi}{6}$:
$\sin\frac{\pi}{6} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{3\pi - \pi}{6}\right) = \cos\frac{2\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{3}$
$\cos\frac{\pi}{6} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3}$

Подставим полученные выражения в $z$:
$z = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}$.
Это каноническая тригонометрическая форма с модулем $r=1$ и аргументом $\varphi = \frac{\pi}{3}$.
Так как $\frac{\pi}{3} \in (-\pi, \pi]$, это главный аргумент.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}$; главный аргумент: $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

г) В выражении $z = \cos\frac{\pi}{3} - i \sin\frac{\pi}{3}$ стоит знак минус перед мнимой частью. Стандартная тригонометрическая форма требует знака плюс. Воспользуемся свойствами чётности косинуса и нечётности синуса:
$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$
$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$

Перепишем выражение для $z$:
$z = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Теперь число записано в стандартной тригонометрической форме. Модуль $r=1$, аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.
Аргумент $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $(-\pi, \pi]$, следовательно, он является главным.

Ответ: Тригонометрическая форма: $z = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$; главный аргумент: $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

17.4 а) $z=1$;

б) $z=-2$;

в) $z=i$;

г) $z=-3i$;

д) $z=1+i$;

е) $z=1-i$;

ж) $z=-1+i$;

з) $z=-1-i$.

Для представления комплексного числа $z = x + iy$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Модуль вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений: $\cos \varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin \varphi = \frac{y}{r}$.

а) $z = 1$

Представим комплексное число в алгебраической форме $z = x + iy$. В данном случае $x = 1$, $y = 0$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{1} = 1$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{0}{1} = 0$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = 0$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 1(\cos 0 + i \sin 0)$.

Ответ: $z = \cos 0 + i \sin 0$.

б) $z = -2$

В данном случае $x = -2$, $y = 0$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{2} = -1$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{0}{2} = 0$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = \pi$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 2(\cos \pi + i \sin \pi)$.

Ответ: $z = 2(\cos \pi + i \sin \pi)$.

в) $z = i$

В данном случае $x = 0$, $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{0}{1} = 0$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{1} = 1$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 1(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$.

Ответ: $z = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.

г) $z = -3i$

В данном случае $x = 0$, $y = -3$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{0}{3} = 0$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-3}{3} = -1$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = 3(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Ответ: $z = 3(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}))$.

д) $z = 1 + i$

В данном случае $x = 1$, $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

Ответ: $z = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.

е) $z = 1 - i$

В данном случае $x = 1$, $y = -1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Ответ: $z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i \sin(-\frac{\pi}{4}))$.

ж) $z = -1 + i$

В данном случае $x = -1$, $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$.

Ответ: $z = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$.

з) $z = -1 - i$

В данном случае $x = -1$, $y = -1$.

Найдем модуль комплексного числа $r$:
$r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Найдем аргумент $\varphi$ из соотношений:
$\cos \varphi = \frac{x}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \varphi = \frac{y}{r} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отсюда следует, что аргумент $\varphi = -\frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, тригонометрическая форма числа:
$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4}))$.

Ответ: $z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{3\pi}{4}) + i \sin(-\frac{3\pi}{4}))$.

17.5 a) $z = \sqrt{3} + i$;

б) $z = \sqrt{3} - i$;

в) $z = -\sqrt{3} + i$;

г) $z = -\sqrt{3} - i$;

д) $z = 1 + \sqrt{3}i$;

e) $z = 1 - \sqrt{3}i$.

Для представления комплексного числа $z = x + yi$ в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ и показательной форме $z = re^{i\varphi}$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Модуль вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\varphi$ находится из системы уравнений: $\cos \varphi = \frac{x}{r}$, $\sin \varphi = \frac{y}{r}$.

а) $z = \sqrt{3} + i$

Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = \sqrt{3} > 0$ и $y = 1 > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в первой координатной четверти.

$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = \frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{6}) + i \sin(\frac{\pi}{6})) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.

б) $z = \sqrt{3} - i$

Действительная часть $x = \sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = \sqrt{3} > 0$ и $y = -1 < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в четвертой координатной четверти.

$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{\pi}{6}}$.

в) $z = -\sqrt{3} + i$

Действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = 1$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = -\sqrt{3} < 0$ и $y = 1 > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит во второй координатной четверти.

$\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{5\pi}{6}) + i \sin(\frac{5\pi}{6})) = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

г) $z = -\sqrt{3} - i$

Действительная часть $x = -\sqrt{3}$, мнимая часть $y = -1$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = -\sqrt{3} < 0$ и $y = -1 < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в третьей координатной четверти.

$\cos \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{1}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = -\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i \sin(-\frac{5\pi}{6}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i \sin(-\frac{5\pi}{6})) = 2e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

д) $z = 1 + \sqrt{3}i$

Действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = \sqrt{3}$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = 1 > 0$ и $y = \sqrt{3} > 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в первой координатной четверти.

$\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = \frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3})) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.

е) $z = 1 - \sqrt{3}i$

Действительная часть $x = 1$, мнимая часть $y = -\sqrt{3}$.

Найдем модуль комплексного числа:

$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем аргумент. Так как $x = 1 > 0$ и $y = -\sqrt{3} < 0$, точка, соответствующая числу $z$, лежит в четвертой координатной четверти.

$\cos \varphi = \frac{1}{2}$, $\sin \varphi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Отсюда главный аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.

Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Показательная форма: $z = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

Ответ: $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})) = 2e^{-i\frac{\pi}{3}}$.

17.6 a) $z = 3 + 4i;$

б) $z = 3 - 4i;$

в) $z = 4 - 3i;$

г) $z = 5 - 4i;$

д) $z = 1 + 2i;$

е) $z = -3 - 2i.$

Задача состоит в том, чтобы представить данные комплексные числа, заданные в алгебраической форме $z = x + yi$, в тригонометрической и показательной (экспоненциальной) формах. Для этого необходимо найти модуль $r$ и аргумент $\phi$ каждого числа.

Модуль комплексного числа вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\phi$ — это угол, который образует радиус-вектор точки, соответствующей комплексному числу, с положительным направлением действительной оси. Главное значение аргумента $\phi$ находится в интервале $(-\pi, \pi]$ и определяется из системы:

$\cos \phi = \frac{x}{r}$

$\sin \phi = \frac{y}{r}$

Тригонометрическая форма имеет вид: $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$.

Показательная форма имеет вид: $z = re^{i\phi}$.

а) $z = 3 + 4i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=3$, мнимая часть $y=4$.
$r = |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в первой координатной четверти ($x > 0, y > 0$).
$\cos \phi = \frac{3}{5}$, $\sin \phi = \frac{4}{5}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

Ответ:
Модуль: $r=5$
Аргумент: $\phi = \arctan\frac{4}{3}$
Тригонометрическая форма: $z = 5\left(\cos\left(\arctan\frac{4}{3}\right) + i \sin\left(\arctan\frac{4}{3}\right)\right)$
Показательная форма: $z = 5e^{i \arctan(4/3)}$

б) $z = 3 - 4i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=3$, мнимая часть $y=-4$.
$r = |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в четвертой координатной четверти ($x > 0, y < 0$).
$\cos \phi = \frac{3}{5}$, $\sin \phi = -\frac{4}{5}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) = -\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

Ответ:
Модуль: $r=5$
Аргумент: $\phi = -\arctan\frac{4}{3}$
Тригонометрическая форма: $z = 5\left(\cos\left(-\arctan\frac{4}{3}\right) + i \sin\left(-\arctan\frac{4}{3}\right)\right)$
Показательная форма: $z = 5e^{-i \arctan(4/3)}$

в) $z = 4 - 3i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=4$, мнимая часть $y=-3$.
$r = |z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в четвертой координатной четверти ($x > 0, y < 0$).
$\cos \phi = \frac{4}{5}$, $\sin \phi = -\frac{3}{5}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-3}{4}\right) = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right)$.

Ответ:
Модуль: $r=5$
Аргумент: $\phi = -\arctan\frac{3}{4}$
Тригонометрическая форма: $z = 5\left(\cos\left(-\arctan\frac{3}{4}\right) + i \sin\left(-\arctan\frac{3}{4}\right)\right)$
Показательная форма: $z = 5e^{-i \arctan(3/4)}$

г) $z = 5 - 4i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=5$, мнимая часть $y=-4$.
$r = |z| = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в четвертой координатной четверти ($x > 0, y < 0$).
$\cos \phi = \frac{5}{\sqrt{41}}$, $\sin \phi = -\frac{4}{\sqrt{41}}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{5}\right) = -\arctan\left(\frac{4}{5}\right)$.

Ответ:
Модуль: $r=\sqrt{41}$
Аргумент: $\phi = -\arctan\frac{4}{5}$
Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{41}\left(\cos\left(-\arctan\frac{4}{5}\right) + i \sin\left(-\arctan\frac{4}{5}\right)\right)$
Показательная форма: $z = \sqrt{41}e^{-i \arctan(4/5)}$

д) $z = 1 + 2i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=1$, мнимая часть $y=2$.
$r = |z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в первой координатной четверти ($x > 0, y > 0$).
$\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin \phi = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan(2)$.

Ответ:
Модуль: $r=\sqrt{5}$
Аргумент: $\phi = \arctan 2$
Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{5}\left(\cos\left(\arctan 2\right) + i \sin\left(\arctan 2\right)\right)$
Показательная форма: $z = \sqrt{5}e^{i \arctan 2}$

е) $z = -3 - 2i$

1. Находим модуль комплексного числа.
Действительная часть $x=-3$, мнимая часть $y=-2$.
$r = |z| = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

2. Находим аргумент комплексного числа.
Число находится в третьей координатной четверти ($x < 0, y < 0$). Для нахождения главного значения аргумента в этой четверти используется формула $\phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi$.
$\cos \phi = -\frac{3}{\sqrt{13}}$, $\sin \phi = -\frac{2}{\sqrt{13}}$.
Аргумент $\phi = \arctan\left(\frac{-2}{-3}\right) - \pi = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) - \pi$.

Ответ:
Модуль: $r=\sqrt{13}$
Аргумент: $\phi = \arctan\frac{2}{3} - \pi$
Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{13}\left(\cos\left(\arctan\frac{2}{3} - \pi\right) + i \sin\left(\arctan\frac{2}{3} - \pi\right)\right)$
Показательная форма: $z = \sqrt{13}e^{i(\arctan(2/3) - \pi)}$