Страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

17.22 Сколько существует различных корней степени $n (n \ge 2)$ из комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ ($z \ne 0$)? Напишите формулу для вычисления этих корней.

Существует $n$ различных корней.

Формула для вычисления этих корней:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.

Количество различных корней

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, с учётом их кратности. В данном случае мы ищем решения уравнения $w^n = z$, где $z$ — заданное ненулевое комплексное число. Это уравнение эквивалентно $w^n - z = 0$, то есть поиску корней многочлена $P(w) = w^n - z$.

Можно доказать, что для любого ненулевого комплексного числа $z$ ($z \neq 0$) и любого целого числа $n \ge 2$, существует ровно $n$ различных комплексных корней $n$-й степени из этого числа. Все эти корни лежат на окружности радиусом $\sqrt[n]{r}$ в комплексной плоскости и образуют вершины правильного $n$-угольника.

Ответ: Существует ровно $n$ различных корней.

Формула для вычисления этих корней

Для извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ используется формула, вытекающая из формулы Муавра. Пусть корень $n$-й степени $w_k$ также представлен в тригонометрической форме: $w = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$.

Тогда должно выполняться равенство $w^n = z$. По формуле Муавра для возведения в степень: $w^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.

Приравнивая это выражение к $z$: $\rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, если равны их модули, а их аргументы отличаются на целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

1. Из равенства модулей следует: $\rho^n = r \implies \rho = \sqrt[n]{r}$. (Здесь $\sqrt[n]{r}$ — арифметический корень из положительного числа $r$).

2. Из равенства аргументов следует: $n\theta = \varphi + 2\pi k \implies \theta_k = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$.

Придавая $k$ значения от $0$ до $n-1$, мы получаем $n$ различных значений аргумента, а следовательно, и $n$ различных корней. При $k=n$ аргумент будет равен $\frac{\varphi + 2\pi n}{n} = \frac{\varphi}{n} + 2\pi$, что соответствует тому же корню, что и при $k=0$.

Таким образом, все $n$ различных корней $w_k$ находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Ответ: $w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

17.23 Найдите корни степени 2 из комплексного числа:

а) $4\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right);$

б) $\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3};$

в) $25\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right);$

г) $36\left(\cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}\right).$

Для нахождения корней $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, представленного в тригонометрической форме, используется формула Муавра:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.

В данной задаче требуется найти корни степени 2, то есть квадратные корни. Это означает, что $n=2$ и мы будем искать два корня, для $k=0$ и $k=1$.

Дано комплексное число $z = 4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)$.

Модуль этого числа $r=4$, а аргумент $\varphi = \frac{4\pi}{3}$.

Модуль искомых корней будет равен $\sqrt{r} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем первый корень, подставив $k=0$ в формулу:
Аргумент: $\theta_0 = \frac{\varphi + 2\pi \cdot 0}{2} = \frac{4\pi/3}{2} = \frac{2\pi}{3}$.
Первый корень: $w_0 = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$.

Найдем второй корень, подставив $k=1$ в формулу:
Аргумент: $\theta_1 = \frac{\varphi + 2\pi \cdot 1}{2} = \frac{4\pi/3 + 2\pi}{2} = \frac{10\pi/3}{2} = \frac{5\pi}{3}$.
Второй корень: $w_1 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)$.

Ответ: $2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$ и $2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)$.

Дано комплексное число $z = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}$.

Модуль этого числа $r=1$, а аргумент $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Модуль искомых корней будет равен $\sqrt{r} = \sqrt{1} = 1$.

Для $k=0$:
Аргумент: $\theta_0 = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Первый корень: $w_0 = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$.

Для $k=1$:
Аргумент: $\theta_1 = \frac{2\pi/3 + 2\pi}{2} = \frac{8\pi/3}{2} = \frac{4\pi}{3}$.
Второй корень: $w_1 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ и $\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$.

Дано комплексное число $z = 25 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$.

Модуль этого числа $r=25$, а аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Модуль искомых корней будет равен $\sqrt{r} = \sqrt{25} = 5$.

Для $k=0$:
Аргумент: $\theta_0 = \frac{3\pi/4}{2} = \frac{3\pi}{8}$.
Первый корень: $w_0 = 5 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right)$.

Для $k=1$:
Аргумент: $\theta_1 = \frac{3\pi/4 + 2\pi}{2} = \frac{11\pi/4}{2} = \frac{11\pi}{8}$.
Второй корень: $w_1 = 5 \left( \cos \frac{11\pi}{8} + i \sin \frac{11\pi}{8} \right)$.

Ответ: $5 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right)$ и $5 \left( \cos \frac{11\pi}{8} + i \sin \frac{11\pi}{8} \right)$.

Дано комплексное число $z = 36 \left( \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5} \right)$.

Модуль этого числа $r=36$, а аргумент $\varphi = \frac{4\pi}{5}$.

Модуль искомых корней будет равен $\sqrt{r} = \sqrt{36} = 6$.

Для $k=0$:
Аргумент: $\theta_0 = \frac{4\pi/5}{2} = \frac{2\pi}{5}$.
Первый корень: $w_0 = 6 \left( \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5} \right)$.

Для $k=1$:
Аргумент: $\theta_1 = \frac{4\pi/5 + 2\pi}{2} = \frac{14\pi/5}{2} = \frac{7\pi}{5}$.
Второй корень: $w_1 = 6 \left( \cos \frac{7\pi}{5} + i \sin \frac{7\pi}{5} \right)$.

Ответ: $6 \left( \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5} \right)$ и $6 \left( \cos \frac{7\pi}{5} + i \sin \frac{7\pi}{5} \right)$.

17.24 Найдите корни степени 2 из комплексного числа и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие:

а) $1$;

б) $-1$;

в) $4i$;

г) $-4i$;

д) $1 + i$;

е) $1 - i$;

ж) $1 + i\sqrt{3}$;

з) $1 - i\sqrt{3}$.

Для нахождения корней степени 2 (квадратных корней) из комплексного числа $z$ можно использовать два основных метода: алгебраический и тригонометрический. В общем случае, если комплексное число представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, то его корни $n$-ой степени находятся по формуле Муавра:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.

Для квадратного корня $n=2$, и мы получаем два корня $w_0$ и $w_1$ (при $k=0$ и $k=1$).

а) Найдём корни степени 2 из числа $z=1$.

Это действительное число, его квадратные корни хорошо известны: $1$ и $-1$.

Используя формулу Муавра: представим $z=1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1| = 1$. Аргумент $\varphi = 0$.

$z = 1(\cos(0) + i\sin(0))$.

Корни: $w_k = \sqrt{1} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{2} \right) = \cos(\pi k) + i\sin(\pi k)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.

При $k=1$: $w_1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1$.

Точки на комплексной плоскости, изображающие эти корни, имеют координаты $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: Корни: $w_0=1$, $w_1=-1$. Точки на комплексной плоскости: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

б) Найдём корни степени 2 из числа $z=-1$.

Представим $z=-1$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-1| = 1$. Аргумент $\varphi = \pi$.

$z = 1(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$.

Корни: $w_k = \sqrt{1} \left( \cos\frac{\pi + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{2} \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = i$.

При $k=1$: $w_1 = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = -i$.

Точки на комплексной плоскости, изображающие эти корни, имеют координаты $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Корни: $w_0=i$, $w_1=-i$. Точки на комплексной плоскости: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.

в) Найдём корни степени 2 из числа $z=4i$.

Представим $z=4i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |4i| = 4$. Аргумент $\varphi = \pi/2$.

$z = 4(\cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2))$.

Корни: $w_k = \sqrt{4} \left( \cos\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi/2 + 2\pi k}{2} \right) = 2 \left( \cos(\frac{\pi}{4}+\pi k) + i\sin(\frac{\pi}{4}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = 2(\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

При $k=1$: $w_1 = 2(\cos(5\pi/4) + i\sin(5\pi/4)) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: Корни: $w_0=\sqrt{2} + i\sqrt{2}$, $w_1=-\sqrt{2} - i\sqrt{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

г) Найдём корни степени 2 из числа $z=-4i$.

Представим $z=-4i$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |-4i| = 4$. Аргумент $\varphi = -\pi/2$ (или $3\pi/2$).

$z = 4(\cos(-\pi/2) + i\sin(-\pi/2))$.

Корни: $w_k = \sqrt{4} \left( \cos\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{-\pi/2 + 2\pi k}{2} \right) = 2 \left( \cos(-\frac{\pi}{4}+\pi k) + i\sin(-\frac{\pi}{4}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = 2(\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4)) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$.

При $k=1$: $w_1 = 2(\cos(3\pi/4) + i\sin(3\pi/4)) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Ответ: Корни: $w_0=\sqrt{2} - i\sqrt{2}$, $w_1=-\sqrt{2} + i\sqrt{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

д) Найдём корни степени 2 из числа $z=1+i$.

Воспользуемся алгебраическим методом. Пусть корень равен $w = x+iy$. Тогда $w^2 = (x+iy)^2 = x^2-y^2+2xyi = 1+i$.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ 2xy = 1 \end{cases}$

Также, $|w|^2 = |z|$, т.е. $x^2+y^2 = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Решим систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ x^2 + y^2 = \sqrt{2} \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 1+\sqrt{2} \Rightarrow x^2 = \frac{1+\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$.

Вычитая первое уравнение из второго, получаем $2y^2 = \sqrt{2}-1 \Rightarrow y^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \Rightarrow y = \pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Так как $2xy=1 > 0$, знаки $x$ и $y$ должны совпадать.

Корни: $w_0 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ и $w_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$ и $(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$.

Ответ: Корни: $w_{0,1}=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$. Точки на комплексной плоскости: $\left(\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \pm\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$, где знаки у координат совпадают.

е) Найдём корни степени 2 из числа $z=1-i$.

Аналогично предыдущему пункту, $w^2 = 1-i$. $|z|=\sqrt{2}$.

Система уравнений: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ 2xy = -1 \\ x^2+y^2=\sqrt{2} \end{cases}$

Решения для $x^2$ и $y^2$ те же: $x^2 = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$, $y^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

Так как $2xy=-1 < 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть противоположными.

Корни: $w_0 = \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$ и $w_1 = -\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$ и $(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}})$.

Ответ: Корни: $w_{0,1}=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}} - i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$. Точки на комплексной плоскости: $\left(\pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}, \mp\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$, где знаки у координат противоположны.

ж) Найдём корни степени 2 из числа $z=1+i\sqrt{3}$.

Представим $z$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$. Аргумент $\varphi = \arctan(\sqrt{3}/1) = \pi/3$.

$z = 2(\cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3))$.

Корни: $w_k = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi/3 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{\pi/3 + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos(\frac{\pi}{6}+\pi k) + i\sin(\frac{\pi}{6}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}(\cos(\pi/6) + i\sin(\pi/6)) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $k=1$: $w_1 = -w_0 = -\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Корни: $w_0=\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$, $w_1=-\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

з) Найдём корни степени 2 из числа $z=1-i\sqrt{3}$.

Представим $z$ в тригонометрической форме. Модуль $r = |1-i\sqrt{3}| = 2$. Аргумент $\varphi = \arctan(-\sqrt{3}/1) = -\pi/3$.

$z = 2(\cos(-\pi/3) + i\sin(-\pi/3))$.

Корни: $w_k = \sqrt{2} \left( \cos\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{2} + i\sin\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \cos(-\frac{\pi}{6}+\pi k) + i\sin(-\frac{\pi}{6}+\pi k) \right)$ для $k=0, 1$.

При $k=0$: $w_0 = \sqrt{2}(\cos(-\pi/6) + i\sin(-\pi/6)) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

При $k=1$: $w_1 = -w_0 = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Ответ: Корни: $w_0=\frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$, $w_1=-\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки на комплексной плоскости: $(\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

17.25 Найдите корни степени 3 из комплексного числа и найдите на комплексной плоскости точки, их изображающие:

а) $1$;

б) $-1$;

в) $8i$;

г) $-8i$;

д) $1 + i$;

е) $1 - i$;

ж) $1 + i\sqrt{3}$;

з) $1 - i\sqrt{3}$.

Для нахождения корней степени $n$ из комплексного числа $z$ необходимо сначала представить это число в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ - модуль, а $\varphi = \arg(z)$ - аргумент числа.Корни степени $n$ вычисляются по формуле Муавра:$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.В данной задаче мы ищем корни степени 3, поэтому $n=3$ и $k$ принимает значения $0, 1, 2$.На комплексной плоскости эти три корня являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{r}$.

а) $1$

Представим число $z=1$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1| = 1$, аргумент $\varphi = 0$.
$z = 1(\cos 0 + i\sin 0)$.

Корни кубические вычисляются по формуле:
$w_k = \sqrt[3]{1} \left( \cos\frac{0 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{0 + 2\pi k}{3} \right) = \cos\frac{2\pi k}{3} + i\sin\frac{2\pi k}{3}$.

Для $k=0$: $w_0 = \cos 0 + i\sin 0 = 1$.
Для $k=1$: $w_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для $k=2$: $w_2 = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки, изображающие эти корни: $(1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Они образуют правильный треугольник, вписанный в единичную окружность.

Ответ: $w_0 = 1$, $w_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $w_2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $-1$

Представим число $z=-1$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |-1| = 1$, аргумент $\varphi = \pi$.
$z = 1(\cos\pi + i\sin\pi)$.

Корни кубические: $w_k = \cos\frac{\pi + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi + 2\pi k}{3}$.

Для $k=0$: $w_0 = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для $k=1$: $w_1 = \cos\frac{3\pi}{3} + i\sin\frac{3\pi}{3} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$.
Для $k=2$: $w_2 = \cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки, изображающие эти корни: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-1, 0)$ и $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Они образуют правильный треугольник, вписанный в единичную окружность.

Ответ: $w_0 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $w_1 = -1$, $w_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $8i$

Представим число $z=8i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |8i| = 8$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
$z = 8(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[3]{8} \left( \cos\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi/2 + 2\pi k}{3} \right) = 2 \left( \cos\frac{\pi(1+4k)}{6} + i\sin\frac{\pi(1+4k)}{6} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} + i$.
Для $k=1$: $w_1 = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$.
Для $k=2$: $w_2 = 2(\cos\frac{9\pi}{6} + i\sin\frac{9\pi}{6}) = 2(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}) = 2(0 - i) = -2i$.

Точки, изображающие эти корни: $(\sqrt{3}, 1)$, $(-\sqrt{3}, 1)$ и $(0, -2)$. Они образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса 2.

Ответ: $w_0 = \sqrt{3} + i$, $w_1 = -\sqrt{3} + i$, $w_2 = -2i$.

г) $-8i$

Представим число $z=-8i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |-8i| = 8$, аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{2}$.
$z = 8(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2})$.

Корни кубические: $w_k = 2 \left( \cos\frac{3\pi/2 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{3\pi/2 + 2\pi k}{3} \right) = 2 \left( \cos\frac{\pi(3+4k)}{6} + i\sin\frac{\pi(3+4k)}{6} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = 2(\cos\frac{3\pi}{6} + i\sin\frac{3\pi}{6}) = 2(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}) = 2i$.
Для $k=1$: $w_1 = 2(\cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} - i$.
Для $k=2$: $w_2 = 2(\cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}) = \sqrt{3} - i$.

Точки, изображающие эти корни: $(0, 2)$, $(-\sqrt{3}, -1)$ и $(\sqrt{3}, -1)$. Они образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса 2.

Ответ: $w_0 = 2i$, $w_1 = -\sqrt{3} - i$, $w_2 = \sqrt{3} - i$.

д) $1+i$

Представим число $z=1+i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
$z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}} \left( \cos\frac{\pi/4 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi/4 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi(1+8k)}{12} + i\sin\frac{\pi(1+8k)}{12} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12})$.
Для $k=1$: $w_1 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{9\pi}{12} + i\sin\frac{9\pi}{12}) = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}) = \sqrt[6]{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{-1+i}{\sqrt[3]{2}}$.
Для $k=2$: $w_2 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12})$.

Точки, изображающие корни, образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R = \sqrt[6]{2}$.

Ответ: $w_0 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12})$, $w_1 = \frac{-1+i}{\sqrt[3]{2}}$, $w_2 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12})$.

е) $1-i$

Представим число $z=1-i$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1-i| = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$, аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.
$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{-\pi/4 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{-\pi/4 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi(-1+8k)}{12} + i\sin\frac{\pi(-1+8k)}{12} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = \sqrt[6]{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12})) = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12})$.
Для $k=1$: $w_1 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12})$.
Для $k=2$: $w_2 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{15\pi}{12} + i\sin\frac{15\pi}{12}) = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}) = \sqrt[6]{2}(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{-1-i}{\sqrt[3]{2}}$.

Точки, изображающие корни, образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R = \sqrt[6]{2}$.

Ответ: $w_0 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{\pi}{12} - i\sin\frac{\pi}{12})$, $w_1 = \sqrt[6]{2}(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12})$, $w_2 = \frac{-1-i}{\sqrt[3]{2}}$.

ж) $1+i\sqrt{3}$

Представим число $z=1+i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = 2$, аргумент $\varphi = \frac{\pi}{3}$.
$z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{\pi/3 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\pi/3 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{\pi(1+6k)}{9} + i\sin\frac{\pi(1+6k)}{9} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9})$.
Для $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9})$.
Для $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9})$.

Точки, изображающие корни, образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R = \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9})$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9})$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9})$.

з) $1-i\sqrt{3}$

Представим число $z=1-i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме.
Модуль $r = |1-i\sqrt{3}| = \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} = 2$, аргумент $\varphi = -\frac{\pi}{3}$.
$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Корни кубические: $w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{-\pi/3 + 2\pi k}{3} \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos\frac{\pi(-1+6k)}{9} + i\sin\frac{\pi(-1+6k)}{9} \right)$.

Для $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos(-\frac{\pi}{9}) + i\sin(-\frac{\pi}{9})) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{9} - i\sin\frac{\pi}{9})$.
Для $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{5\pi}{9} + i\sin\frac{5\pi}{9})$.
Для $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{11\pi}{9} + i\sin\frac{11\pi}{9})$.

Точки, изображающие корни, образуют правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R = \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{9} - i\sin\frac{\pi}{9})$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{5\pi}{9} + i\sin\frac{5\pi}{9})$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{11\pi}{9} + i\sin\frac{11\pi}{9})$.

17.26 Пусть $\alpha_k$ — корни степени $n$ ($n \ge 2$) из 1 ($k = 0, 1, \dots, n-1$). Докажите, что:

а) $|\alpha_k| = 1$;

б) $\alpha_k \alpha_m = \alpha_{k+m}$;

В) $\frac{\alpha_k}{\alpha_m} = \alpha_{k-m}$;

г) $\alpha_k^m = \alpha_{km}$.

Корни n-й степени из 1, обозначаемые как $\alpha_k$, являются решениями уравнения $z^n = 1$. В тригонометрической и, что более удобно для данной задачи, показательной форме они записываются как:

Используем эту запись для доказательства предложенных утверждений.

Модуль комплексного числа $z = x+iy$ вычисляется по формуле $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$. Для числа в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ модуль равен $r$. Для числа в показательной форме $z = re^{i\varphi}$ модуль также равен $r$.

Для корня $\alpha_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$, модуль $r$ равен 1. Вычислим его также напрямую из определения:

Применяя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$, получаем:

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $|\alpha_k|=1$.

Используем показательную форму записи: $\alpha_k = e^{i \frac{2\pi k}{n}}$ и $\alpha_m = e^{i \frac{2\pi m}{n}}$.

Рассмотрим произведение $\alpha_k \alpha_m$:

По свойству произведения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), имеем:

Выражение в правой части по определению является корнем $\alpha_{k+m}$. Таким образом, равенство доказано.

Следует отметить, что индексы корней рассматриваются по модулю $n$, поскольку $e^{i \frac{2\pi (j+n)}{n}} = e^{i \frac{2\pi j}{n}} \cdot e^{i 2\pi} = e^{i \frac{2\pi j}{n}} \cdot 1 = \alpha_j$, то есть $\alpha_{j} = \alpha_{j \pmod n}$.

Ответ: Доказано, что $\alpha_k \alpha_m = \alpha_{k+m}$.

Используем показательную форму записи. Рассмотрим частное $\frac{\alpha_k}{\alpha_m}$:

По свойству частного степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$), имеем:

Выражение в правой части является определением корня $\alpha_{k-m}$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано, что $\frac{\alpha_k}{\alpha_m} = \alpha_{k-m}$.

Используем показательную форму записи. Возведем $\alpha_k$ в степень $m$:

По свойству возведения степени в степень ($(a^x)^y = a^{xy}$), которое для комплексных чисел известно как формула Муавра, получаем:

Выражение в правой части является определением корня $\alpha_{km}$. Равенство доказано.

Ответ: Доказано, что $\alpha_k^m = \alpha_{km}$.

17.27 Найдите корни степени 4 из комплексного числа:

а) $-8+8\sqrt{3}i$;

б) $-2-2\sqrt{3}i$.

а) $-8+8\sqrt{3}i$

Чтобы найти корни степени 4 из комплексного числа $z = -8+8\sqrt{3}i$, сначала представим его в тригонометрической форме $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$.

1. Находим модуль $r$ комплексного числа:
$r = |z| = \sqrt{(-8)^2 + (8\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 64 \cdot 3} = \sqrt{64 \cdot 4} = \sqrt{256} = 16$.

2. Находим аргумент $\phi$ комплексного числа:
$\cos\phi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2}$
$\sin\phi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как $\cos\phi < 0$ и $\sin\phi > 0$, угол $\phi$ находится во второй координатной четверти. Следовательно, $\phi = \frac{2\pi}{3}$.

3. Тригонометрическая форма числа:
$z = 16\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.

4. Находим корни по формуле Муавра для корней:
$w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right)\right)$, где $n=4$ и $k=0, 1, 2, 3$.
$w_k = \sqrt[4]{16}\left(\cos\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi k}{4}\right)\right)$
$w_k = 2\left(\cos\left(\frac{2\pi + 6\pi k}{12}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi + 6\pi k}{12}\right)\right)$
$w_k = 2\left(\cos\left(\frac{\pi(1+3k)}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi(1+3k)}{6}\right)\right)$

5. Вычисляем значения корней для $k=0, 1, 2, 3$:
При $k=0$:
$w_0 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + i$.
При $k=1$:
$w_1 = 2\left(\cos\left(\frac{4\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3}$.
При $k=2$:
$w_2 = 2\left(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} - i$.
При $k=3$:
$w_3 = 2\left(\cos\left(\frac{10\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{10\pi}{6}\right)\right) = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) = 2\left(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3} + i, -1 + i\sqrt{3}, -\sqrt{3} - i, 1 - i\sqrt{3}$.

б) $-2-2\sqrt{3}i$

Аналогично, найдем корни степени 4 из комплексного числа $z = -2-2\sqrt{3}i$.

1. Находим модуль $r$ комплексного числа:
$r = |z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{16} = 4$.

2. Находим аргумент $\phi$ комплексного числа:
$\cos\phi = \frac{\text{Re}(z)}{r} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$\sin\phi = \frac{\text{Im}(z)}{r} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как $\cos\phi < 0$ и $\sin\phi < 0$, угол $\phi$ находится в третьей координатной четверти. Следовательно, $\phi = \frac{4\pi}{3}$.

3. Тригонометрическая форма числа:
$z = 4\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right)$.

4. Находим корни по формуле Муавра для корней:
$w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi+2\pi k}{n}\right)\right)$, где $n=4$ и $k=0, 1, 2, 3$.
$w_k = \sqrt[4]{4}\left(\cos\left(\frac{4\pi/3 + 2\pi k}{4}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi/3 + 2\pi k}{4}\right)\right)$
$w_k = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{4\pi + 6\pi k}{12}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi + 6\pi k}{12}\right)\right)$
$w_k = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi(2+3k)}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi(2+3k)}{6}\right)\right)$

5. Вычисляем значения корней для $k=0, 1, 2, 3$:
При $k=0$:
$w_0 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
При $k=1$:
$w_1 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $k=2$:
$w_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{8\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{8\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\right) = \sqrt{2}\left(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}$.
При $k=3$:
$w_3 = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$.