Номер 17.23, страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.23, страница 401.

Условие.

17.23 Найдите корни степени 2 из комплексного числа:

а) $4\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}\right);$

б) $\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3};$

в) $25\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right);$

г) $36\left(\cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения корней $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, представленного в тригонометрической форме, используется формула Муавра:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.

В данной задаче требуется найти корни степени 2, то есть квадратные корни. Это означает, что $n=2$ и мы будем искать два корня, для $k=0$ и $k=1$.

а)

Дано комплексное число $z = 4 \left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right)$.

Модуль этого числа $r=4$, а аргумент $\varphi = \frac{4\pi}{3}$.

Модуль искомых корней будет равен $\sqrt{r} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем первый корень, подставив $k=0$ в формулу:
Аргумент: $\theta_0 = \frac{\varphi + 2\pi \cdot 0}{2} = \frac{4\pi/3}{2} = \frac{2\pi}{3}$.
Первый корень: $w_0 = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$.

Найдем второй корень, подставив $k=1$ в формулу:
Аргумент: $\theta_1 = \frac{\varphi + 2\pi \cdot 1}{2} = \frac{4\pi/3 + 2\pi}{2} = \frac{10\pi/3}{2} = \frac{5\pi}{3}$.
Второй корень: $w_1 = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)$.

Ответ: $2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$ и $2 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right)$.

б)

Дано комплексное число $z = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}$.

Модуль этого числа $r=1$, а аргумент $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.

Модуль искомых корней будет равен $\sqrt{r} = \sqrt{1} = 1$.

Для $k=0$:
Аргумент: $\theta_0 = \frac{2\pi/3}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Первый корень: $w_0 = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$.

Для $k=1$:
Аргумент: $\theta_1 = \frac{2\pi/3 + 2\pi}{2} = \frac{8\pi/3}{2} = \frac{4\pi}{3}$.
Второй корень: $w_1 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$ и $\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}$.

в)

Дано комплексное число $z = 25 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$.

Модуль этого числа $r=25$, а аргумент $\varphi = \frac{3\pi}{4}$.

Модуль искомых корней будет равен $\sqrt{r} = \sqrt{25} = 5$.

Для $k=0$:
Аргумент: $\theta_0 = \frac{3\pi/4}{2} = \frac{3\pi}{8}$.
Первый корень: $w_0 = 5 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right)$.

Для $k=1$:
Аргумент: $\theta_1 = \frac{3\pi/4 + 2\pi}{2} = \frac{11\pi/4}{2} = \frac{11\pi}{8}$.
Второй корень: $w_1 = 5 \left( \cos \frac{11\pi}{8} + i \sin \frac{11\pi}{8} \right)$.

Ответ: $5 \left( \cos \frac{3\pi}{8} + i \sin \frac{3\pi}{8} \right)$ и $5 \left( \cos \frac{11\pi}{8} + i \sin \frac{11\pi}{8} \right)$.

г)

Дано комплексное число $z = 36 \left( \cos \frac{4\pi}{5} + i \sin \frac{4\pi}{5} \right)$.

Модуль этого числа $r=36$, а аргумент $\varphi = \frac{4\pi}{5}$.

Модуль искомых корней будет равен $\sqrt{r} = \sqrt{36} = 6$.

Для $k=0$:
Аргумент: $\theta_0 = \frac{4\pi/5}{2} = \frac{2\pi}{5}$.
Первый корень: $w_0 = 6 \left( \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5} \right)$.

Для $k=1$:
Аргумент: $\theta_1 = \frac{4\pi/5 + 2\pi}{2} = \frac{14\pi/5}{2} = \frac{7\pi}{5}$.
Второй корень: $w_1 = 6 \left( \cos \frac{7\pi}{5} + i \sin \frac{7\pi}{5} \right)$.

Ответ: $6 \left( \cos \frac{2\pi}{5} + i \sin \frac{2\pi}{5} \right)$ и $6 \left( \cos \frac{7\pi}{5} + i \sin \frac{7\pi}{5} \right)$.