Номер 17.22, страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 17.22, страница 401.
№17.22 (с. 401)
Условие. №17.22 (с. 401)
скриншот условия

17.22 Сколько существует различных корней степени $n (n \ge 2)$ из комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ ($z \ne 0$)? Напишите формулу для вычисления этих корней.
Существует $n$ различных корней.
Формула для вычисления этих корней:
$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.
Решение 1. №17.22 (с. 401)

Решение 2. №17.22 (с. 401)

Решение 4. №17.22 (с. 401)
Количество различных корней
Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, с учётом их кратности. В данном случае мы ищем решения уравнения $w^n = z$, где $z$ — заданное ненулевое комплексное число. Это уравнение эквивалентно $w^n - z = 0$, то есть поиску корней многочлена $P(w) = w^n - z$.
Можно доказать, что для любого ненулевого комплексного числа $z$ ($z \neq 0$) и любого целого числа $n \ge 2$, существует ровно $n$ различных комплексных корней $n$-й степени из этого числа. Все эти корни лежат на окружности радиусом $\sqrt[n]{r}$ в комплексной плоскости и образуют вершины правильного $n$-угольника.
Ответ: Существует ровно $n$ различных корней.
Формула для вычисления этих корней
Для извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ используется формула, вытекающая из формулы Муавра. Пусть корень $n$-й степени $w_k$ также представлен в тригонометрической форме: $w = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$.
Тогда должно выполняться равенство $w^n = z$. По формуле Муавра для возведения в степень: $w^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.
Приравнивая это выражение к $z$: $\rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.
Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, если равны их модули, а их аргументы отличаются на целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$).
1. Из равенства модулей следует: $\rho^n = r \implies \rho = \sqrt[n]{r}$. (Здесь $\sqrt[n]{r}$ — арифметический корень из положительного числа $r$).
2. Из равенства аргументов следует: $n\theta = \varphi + 2\pi k \implies \theta_k = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$.
Придавая $k$ значения от $0$ до $n-1$, мы получаем $n$ различных значений аргумента, а следовательно, и $n$ различных корней. При $k=n$ аргумент будет равен $\frac{\varphi + 2\pi n}{n} = \frac{\varphi}{n} + 2\pi$, что соответствует тому же корню, что и при $k=0$.
Таким образом, все $n$ различных корней $w_k$ находятся по формуле:
$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
Ответ: $w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 17.22 расположенного на странице 401 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17.22 (с. 401), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.