Номер 17.22, страница 401 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 17. Тригонометрическая форма комплексных чисел - номер 17.22, страница 401.

Условие.

17.22 Сколько существует различных корней степени $n (n \ge 2)$ из комплексного числа $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$ ($z \ne 0$)? Напишите формулу для вычисления этих корней.

Существует $n$ различных корней.

Формула для вычисления этих корней:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, \dots, n-1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Количество различных корней

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, с учётом их кратности. В данном случае мы ищем решения уравнения $w^n = z$, где $z$ — заданное ненулевое комплексное число. Это уравнение эквивалентно $w^n - z = 0$, то есть поиску корней многочлена $P(w) = w^n - z$.

Можно доказать, что для любого ненулевого комплексного числа $z$ ($z \neq 0$) и любого целого числа $n \ge 2$, существует ровно $n$ различных комплексных корней $n$-й степени из этого числа. Все эти корни лежат на окружности радиусом $\sqrt[n]{r}$ в комплексной плоскости и образуют вершины правильного $n$-угольника.

Ответ: Существует ровно $n$ различных корней.

Формула для вычисления этих корней

Для извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ используется формула, вытекающая из формулы Муавра. Пусть корень $n$-й степени $w_k$ также представлен в тригонометрической форме: $w = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$.

Тогда должно выполняться равенство $w^n = z$. По формуле Муавра для возведения в степень: $w^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.

Приравнивая это выражение к $z$: $\rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, если равны их модули, а их аргументы отличаются на целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$).

1. Из равенства модулей следует: $\rho^n = r \implies \rho = \sqrt[n]{r}$. (Здесь $\sqrt[n]{r}$ — арифметический корень из положительного числа $r$).

2. Из равенства аргументов следует: $n\theta = \varphi + 2\pi k \implies \theta_k = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$.

Придавая $k$ значения от $0$ до $n-1$, мы получаем $n$ различных значений аргумента, а следовательно, и $n$ различных корней. При $k=n$ аргумент будет равен $\frac{\varphi + 2\pi n}{n} = \frac{\varphi}{n} + 2\pi$, что соответствует тому же корню, что и при $k=0$.

Таким образом, все $n$ различных корней $w_k$ находятся по формуле:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Ответ: $w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.