Номер 18.1, страница 404 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 18.1, страница 404.

№18.1 (с. 404)
Условие. №18.1 (с. 404)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 404, номер 18.1, Условие

18.1 Убедитесь в том, что числа:

a) $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$;

б) $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$.

Решение 1. №18.1 (с. 404)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 404, номер 18.1, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 404, номер 18.1, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №18.1 (с. 404)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 404, номер 18.1, Решение 2
Решение 4. №18.1 (с. 404)

а) Чтобы убедиться, что числа $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$, нужно подставить каждое из этих чисел в многочлен вместо $x$ и проверить, будет ли результат равен нулю.

1. Проверка для $x = 1 + i$:

Подставляем $1 + i$ в многочлен:

$(1 + i)^2 - 2(1 + i) + 2$

Раскрываем скобки. Сначала возводим в квадрат $(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Теперь подставляем результат обратно в выражение:

$2i - 2(1 + i) + 2 = 2i - 2 - 2i + 2$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-2 + 2) + (2i - 2i) = 0 + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $1 + i$ является корнем многочлена.

2. Проверка для $x = 1 - i$:

Подставляем $1 - i$ в многочлен:

$(1 - i)^2 - 2(1 - i) + 2$

Раскрываем скобки. Сначала возводим в квадрат $(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь подставляем результат обратно в выражение:

$-2i - 2(1 - i) + 2 = -2i - 2 + 2i + 2$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-2 + 2) + (-2i + 2i) = 0 + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $1 - i$ также является корнем многочлена.

Ответ: Мы убедились, что числа $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$, так как при подстановке каждого из них в многочлен получается 0.

б) Чтобы убедиться, что числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$, проделаем аналогичную процедуру подстановки.

1. Проверка для $x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$:

Подставляем в многочлен:

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1$

Возводим в квадрат: $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Подставляем результат в выражение:

$(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-1 + 1) + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ является корнем.

2. Проверка для $x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$:

Подставляем в многочлен:

$(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1$

Возводим в квадрат: $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Подставляем результат в выражение:

$(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-1 + 1) + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ также является корнем.

Ответ: Мы убедились, что числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$, так как при подстановке каждого из них в многочлен получается 0.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 18.1 расположенного на странице 404 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18.1 (с. 404), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.