Номер 18.1, страница 404 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 18.1, страница 404.
№18.1 (с. 404)
Условие. №18.1 (с. 404)
скриншот условия

18.1 Убедитесь в том, что числа:
a) $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$;
б) $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$.
Решение 1. №18.1 (с. 404)


Решение 2. №18.1 (с. 404)

Решение 4. №18.1 (с. 404)
а) Чтобы убедиться, что числа $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$, нужно подставить каждое из этих чисел в многочлен вместо $x$ и проверить, будет ли результат равен нулю.
1. Проверка для $x = 1 + i$:
Подставляем $1 + i$ в многочлен:
$(1 + i)^2 - 2(1 + i) + 2$
Раскрываем скобки. Сначала возводим в квадрат $(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.
Теперь подставляем результат обратно в выражение:
$2i - 2(1 + i) + 2 = 2i - 2 - 2i + 2$
Группируем действительные и мнимые части:
$(-2 + 2) + (2i - 2i) = 0 + 0 = 0$.
Результат равен 0, следовательно, $1 + i$ является корнем многочлена.
2. Проверка для $x = 1 - i$:
Подставляем $1 - i$ в многочлен:
$(1 - i)^2 - 2(1 - i) + 2$
Раскрываем скобки. Сначала возводим в квадрат $(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.
Теперь подставляем результат обратно в выражение:
$-2i - 2(1 - i) + 2 = -2i - 2 + 2i + 2$
Группируем действительные и мнимые части:
$(-2 + 2) + (-2i + 2i) = 0 + 0 = 0$.
Результат равен 0, следовательно, $1 - i$ также является корнем многочлена.
Ответ: Мы убедились, что числа $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$, так как при подстановке каждого из них в многочлен получается 0.
б) Чтобы убедиться, что числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$, проделаем аналогичную процедуру подстановки.
1. Проверка для $x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$:
Подставляем в многочлен:
$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1$
Возводим в квадрат: $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
Подставляем результат в выражение:
$(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1$
Группируем действительные и мнимые части:
$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-1 + 1) + 0 = 0$.
Результат равен 0, следовательно, $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ является корнем.
2. Проверка для $x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$:
Подставляем в многочлен:
$(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1$
Возводим в квадрат: $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.
Подставляем результат в выражение:
$(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1$
Группируем действительные и мнимые части:
$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-1 + 1) + 0 = 0$.
Результат равен 0, следовательно, $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ также является корнем.
Ответ: Мы убедились, что числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$, так как при подстановке каждого из них в многочлен получается 0.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 18.1 расположенного на странице 404 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18.1 (с. 404), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.