Номер 18.1, страница 404 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел - номер 18.1, страница 404.

Условие.

18.1 Убедитесь в том, что числа:

a) $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$;

б) $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Чтобы убедиться, что числа $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$, нужно подставить каждое из этих чисел в многочлен вместо $x$ и проверить, будет ли результат равен нулю.

1. Проверка для $x = 1 + i$:

Подставляем $1 + i$ в многочлен:

$(1 + i)^2 - 2(1 + i) + 2$

Раскрываем скобки. Сначала возводим в квадрат $(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Теперь подставляем результат обратно в выражение:

$2i - 2(1 + i) + 2 = 2i - 2 - 2i + 2$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-2 + 2) + (2i - 2i) = 0 + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $1 + i$ является корнем многочлена.

2. Проверка для $x = 1 - i$:

Подставляем $1 - i$ в многочлен:

$(1 - i)^2 - 2(1 - i) + 2$

Раскрываем скобки. Сначала возводим в квадрат $(1 - i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь подставляем результат обратно в выражение:

$-2i - 2(1 - i) + 2 = -2i - 2 + 2i + 2$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-2 + 2) + (-2i + 2i) = 0 + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $1 - i$ также является корнем многочлена.

Ответ: Мы убедились, что числа $1 + i$ и $1 - i$ являются корнями многочлена $x^2 - 2x + 2$, так как при подстановке каждого из них в многочлен получается 0.

б) Чтобы убедиться, что числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$, проделаем аналогичную процедуру подстановки.

1. Проверка для $x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$:

Подставляем в многочлен:

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1$

Возводим в квадрат: $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Подставляем результат в выражение:

$(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-1 + 1) + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ является корнем.

2. Проверка для $x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$:

Подставляем в многочлен:

$(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1$

Возводим в квадрат: $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}i + (\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{4}i^2 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$.

Подставляем результат в выражение:

$(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) - (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + 1$

Группируем действительные и мнимые части:

$(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = (-1 + 1) + 0 = 0$.

Результат равен 0, следовательно, $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ также является корнем.

Ответ: Мы убедились, что числа $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ и $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ являются корнями многочлена $x^2 - x + 1$, так как при подстановке каждого из них в многочлен получается 0.