Номер 18.8, страница 408 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел - номер 18.8, страница 408.

Условие.

18.8 Для комплексных чисел $z_1 = r_1e^{i\varphi_1}$ и $z_2 = r_2e^{i\varphi_2}$ докажите равенство:

a) $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$,

б) $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для доказательства равенства необходимо перемножить комплексные числа $z_1 = r_1e^{i\varphi_1}$ и $z_2 = r_2e^{i\varphi_2}$, представленные в показательной форме.
Запишем их произведение:
$z_1 z_2 = (r_1e^{i\varphi_1}) \cdot (r_2e^{i\varphi_2})$
Сгруппируем модули ($r_1, r_2$) и экспоненциальные множители:
$z_1 z_2 = (r_1 r_2) \cdot (e^{i\varphi_1} e^{i\varphi_2})$
Воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a=e$, а показатели $m=i\varphi_1$ и $n=i\varphi_2$:
$e^{i\varphi_1} e^{i\varphi_2} = e^{i\varphi_1 + i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$
Подставив полученный результат в выражение для произведения, получаем:
$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$ доказано.

б) Для доказательства равенства необходимо разделить комплексное число $z_1$ на $z_2$.
Запишем их частное:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}}$
Представим это выражение как произведение отношений модулей и экспоненциальных частей:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \frac{e^{i\varphi_1}}{e^{i\varphi_2}}$
Воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В данном случае основание $a=e$, а показатели $m=i\varphi_1$ и $n=i\varphi_2$:
$\frac{e^{i\varphi_1}}{e^{i\varphi_2}} = e^{i\varphi_1 - i\varphi_2} = e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$
Подставив полученный результат в выражение для частного, получаем:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)}$ доказано.