Номер 18.6, страница 408 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел - номер 18.6, страница 408.

Условие.

18.6 a) $3(\cos \alpha + i \sin \alpha);$

б) $-4(\cos \alpha + i \sin \alpha);$

в) $5(\cos \alpha - i \sin \alpha);$

г) $-6(\cos \alpha - i \sin \alpha).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Заданное выражение $3(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ уже представлено в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.Здесь модуль $r = 3$, и так как $3 > 0$, это корректная форма. Аргумент равен $\varphi = \alpha$.

Ответ: $3(\cos \alpha + i \sin \alpha)$.

б)

В выражении $-4(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ множитель перед скобками отрицателен, что не соответствует тригонометрической форме комплексного числа, где модуль $r$ должен быть неотрицательным.Чтобы привести выражение к стандартному виду, представим $-1$ в тригонометрической форме: $-1 = \cos \pi + i \sin \pi$.Тогда выражение можно переписать так:$-4(\cos \alpha + i \sin \alpha) = 4 \cdot (-1) \cdot (\cos \alpha + i \sin \alpha) = 4(\cos \pi + i \sin \pi)(\cos \alpha + i \sin \alpha)$.Используя формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2))$, получаем:$4(\cos(\pi + \alpha) + i \sin(\pi + \alpha))$.Теперь выражение имеет стандартный вид с модулем $r=4$ и аргументом $\varphi = \pi + \alpha$.

Ответ: $4(\cos(\pi + \alpha) + i \sin(\pi + \alpha))$.

в)

Выражение $5(\cos \alpha - i \sin \alpha)$ отличается от стандартной тригонометрической формы знаком минус перед мнимой частью.Стандартная форма: $r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$.Используем свойства четности косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$).Мы можем переписать выражение следующим образом:$\cos \alpha = \cos(-\alpha)$$-\sin \alpha = \sin(-\alpha)$Подставив это в исходное выражение, получим:$5(\cos \alpha - i \sin \alpha) = 5(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))$.Теперь выражение представлено в стандартной тригонометрической форме с модулем $r=5$ и аргументом $\varphi = -\alpha$.

Ответ: $5(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))$.

г)

В выражении $-6(\cos \alpha - i \sin \alpha)$ присутствуют две проблемы: отрицательный множитель и знак минус внутри скобок. Решим их последовательно.Сначала преобразуем выражение в скобках, как в пункте в):$\cos \alpha - i \sin \alpha = \cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha)$.Тогда исходное выражение примет вид:$-6(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))$.Теперь, как и в пункте б), разберемся с отрицательным множителем. Представим $-1$ как $\cos \pi + i \sin \pi$.$-6(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha)) = 6 \cdot (-1) \cdot (\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha)) = 6(\cos \pi + i \sin \pi)(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha))$.Применяя формулу умножения, складываем аргументы:$\varphi = \pi + (-\alpha) = \pi - \alpha$.Таким образом, получаем стандартную тригонометрическую форму:$6(\cos(\pi - \alpha) + i \sin(\pi - \alpha))$.Модуль числа равен $r=6$, а аргумент $\varphi = \pi - \alpha$.

Ответ: $6(\cos(\pi - \alpha) + i \sin(\pi - \alpha))$.