Номер 18.9, страница 408 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел - номер 18.9, страница 408.

Условие.

18.9 Выполните действия:

а) $e^{\frac{i\pi}{5}} \cdot 2e^{\frac{4i\pi}{5}}$;

б) $3e^{\frac{i\pi}{4}} \cdot 4e^{\frac{i\pi}{3}}$;

в) $3e^{\frac{i\pi}{14}} \cdot 4e^{\frac{i\pi}{7}}$;

г) $6e^{\frac{i\pi}{2}} : \left(2e^{\frac{i\pi}{7}}\right)$;

д) $14e^{\frac{i\pi}{4}} : \left(7e^{\frac{i\pi}{6}}\right)$;

е) $12e^{\frac{i\pi}{2}} : \left(8e^{\frac{i\pi}{6}}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для выполнения умножения комплексных чисел в показательной форме $z_1 = r_1 e^{i\phi_1}$ и $z_2 = r_2 e^{i\phi_2}$ используется правило: модули перемножаются, а аргументы складываются. Формула умножения: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$.
В данном примере $e^{\frac{i\pi}{5}} \cdot 2e^{\frac{4i\pi}{5}}$, имеем $r_1 = 1$, $\phi_1 = \frac{\pi}{5}$, $r_2 = 2$, $\phi_2 = \frac{4\pi}{5}$.
Выполним вычисления:
$1 \cdot 2 \cdot e^{i(\frac{\pi}{5} + \frac{4\pi}{5})} = 2e^{i(\frac{5\pi}{5})} = 2e^{i\pi}$.
Используя формулу Эйлера $e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi$, получим:
$2e^{i\pi} = 2(\cos\pi + i\sin\pi) = 2(-1 + i \cdot 0) = -2$.
Ответ: $-2$

б) Выполним умножение $3e^{\frac{i\pi}{4}} \cdot 4e^{\frac{i\pi}{3}}$, используя ту же формулу $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$.
Здесь $r_1 = 3$, $\phi_1 = \frac{\pi}{4}$, $r_2 = 4$, $\phi_2 = \frac{\pi}{3}$.
$(3 \cdot 4) e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3})} = 12e^{i(\frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12})} = 12e^{\frac{7i\pi}{12}}$.
Ответ: $12e^{\frac{7i\pi}{12}}$

в) Выполним умножение $3e^{\frac{i\pi}{14}} \cdot 4e^{\frac{i\pi}{7}}$.
Здесь $r_1 = 3$, $\phi_1 = \frac{\pi}{14}$, $r_2 = 4$, $\phi_2 = \frac{\pi}{7}$.
$(3 \cdot 4) e^{i(\frac{\pi}{14} + \frac{\pi}{7})} = 12e^{i(\frac{\pi}{14} + \frac{2\pi}{14})} = 12e^{\frac{3i\pi}{14}}$.
Ответ: $12e^{\frac{3i\pi}{14}}$

г) Для выполнения деления комплексных чисел в показательной форме $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 e^{i\phi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}}$ используется правило: модуль делимого делится на модуль делителя, а из аргумента делимого вычитается аргумент делителя. Формула деления: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\phi_1 - \phi_2)}$.
В данном примере $6e^{\frac{i\pi}{2}} : (2e^{\frac{i\pi}{7}})$, имеем $r_1 = 6$, $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$, $r_2 = 2$, $\phi_2 = \frac{\pi}{7}$.
Выполним вычисления:
$\frac{6}{2} e^{i(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7})} = 3e^{i(\frac{7\pi}{14} - \frac{2\pi}{14})} = 3e^{\frac{5i\pi}{14}}$.
Ответ: $3e^{\frac{5i\pi}{14}}$

д) Выполним деление $14e^{\frac{i\pi}{4}} : (7e^{\frac{i\pi}{6}})$, используя правило деления.
Здесь $r_1 = 14$, $\phi_1 = \frac{\pi}{4}$, $r_2 = 7$, $\phi_2 = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{14}{7} e^{i(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6})} = 2e^{i(\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12})} = 2e^{\frac{i\pi}{12}}$.
Ответ: $2e^{\frac{i\pi}{12}}$

е) Выполним деление $12e^{\frac{i\pi}{2}} : (8e^{\frac{i\pi}{6}})$.
Здесь $r_1 = 12$, $\phi_1 = \frac{\pi}{2}$, $r_2 = 8$, $\phi_2 = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{12}{8} e^{i(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6})} = \frac{3}{2}e^{i(\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6})} = \frac{3}{2}e^{i(\frac{2\pi}{6})} = \frac{3}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}$.
Ответ: $\frac{3}{2}e^{\frac{i\pi}{3}}$