Номер 18.5, страница 408 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел - номер 18.5, страница 408.

Условие.

Представьте в показательной форме комплексное число (18.5—18.6):

18.5 а) $3 - 4i$; б) $1 + i$; в) $1 - i$; г) $1 + 2i$;

д) $5$; е) $-3$; ж) $5i$; з) $-3i$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы представить комплексное число $z = x + iy$ в показательной (или экспоненциальной) форме $z = re^{i\varphi}$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Модуль вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Аргумент $\varphi$ — это угол, который образует вектор, соответствующий комплексному числу, с положительным направлением действительной оси. Его можно найти из соотношений: $\cos\varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin\varphi = \frac{y}{r}$. Главное значение аргумента обычно выбирается в интервале $(-\pi, \pi]$.

а) $3 - 4i$

Дано комплексное число $z = 3 - 4i$. Здесь действительная часть $x = 3$, а мнимая часть $y = -4$.

1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}$ $\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-4}{5}$ Число находится в IV четверти комплексной плоскости. Аргумент можно выразить через арктангенс: $\varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) = -\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{-i \arctan(4/3)}$.

Ответ: $5e^{-i \arctan(4/3)}$.

б) $1 + i$

Дано комплексное число $z = 1 + i$. Здесь $x = 1$, $y = 1$.

1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Число находится в I четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{4}$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

Ответ: $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.

в) $1 - i$

Дано комплексное число $z = 1 - i$. Здесь $x = 1$, $y = -1$.

1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Число находится в IV четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

Ответ: $\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.

г) $1 + 2i$

Дано комплексное число $z = 1 + 2i$. Здесь $x = 1$, $y = 2$.

1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\sin\varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}$ Число находится в I четверти. Аргумент можно выразить через арктангенс: $\varphi = \arctan\left(\frac{2}{1}\right) = \arctan(2)$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{5}e^{i \arctan(2)}$.

Ответ: $\sqrt{5}e^{i \arctan(2)}$.

д) $5$

Дано комплексное число $z = 5$. Это действительное число, поэтому $x = 5$, $y = 0$.

1. Модуль числа $r = |5| = 5$.

2. Аргумент $\varphi$: число находится на положительной действительной оси, поэтому угол $\varphi = 0$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{i \cdot 0}$.

Ответ: $5e^{i0}$.

е) $-3$

Дано комплексное число $z = -3$. Это действительное число, $x = -3$, $y = 0$.

1. Модуль числа $r = |-3| = 3$.

2. Аргумент $\varphi$: число находится на отрицательной действительной оси, поэтому угол $\varphi = \pi$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 3e^{i\pi}$.

Ответ: $3e^{i\pi}$.

ж) $5i$

Дано комплексное число $z = 5i$. Это чисто мнимое число, $x = 0$, $y = 5$.

1. Модуль числа $r = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.

2. Аргумент $\varphi$: число находится на положительной мнимой оси, поэтому угол $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Ответ: $5e^{i\frac{\pi}{2}}$.

з) $-3i$

Дано комплексное число $z = -3i$. Это чисто мнимое число, $x = 0$, $y = -3$.

1. Модуль числа $r = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$.

2. Аргумент $\varphi$: число находится на отрицательной мнимой оси, поэтому угол $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.

3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$.

Ответ: $3e^{-i\frac{\pi}{2}}$.