Номер 18.5, страница 408 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 18. Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 18.5, страница 408.
№18.5 (с. 408)
Условие. №18.5 (с. 408)
скриншот условия

Представьте в показательной форме комплексное число (18.5—18.6):
18.5 а) $3 - 4i$; б) $1 + i$; в) $1 - i$; г) $1 + 2i$;
д) $5$; е) $-3$; ж) $5i$; з) $-3i$.
Решение 1. №18.5 (с. 408)








Решение 2. №18.5 (с. 408)

Решение 3. №18.5 (с. 408)

Решение 4. №18.5 (с. 408)
Чтобы представить комплексное число $z = x + iy$ в показательной (или экспоненциальной) форме $z = re^{i\varphi}$, необходимо найти его модуль $r$ и аргумент $\varphi$.
Модуль вычисляется по формуле: $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Аргумент $\varphi$ — это угол, который образует вектор, соответствующий комплексному числу, с положительным направлением действительной оси. Его можно найти из соотношений: $\cos\varphi = \frac{x}{r}$ и $\sin\varphi = \frac{y}{r}$. Главное значение аргумента обычно выбирается в интервале $(-\pi, \pi]$.
а) $3 - 4i$
Дано комплексное число $z = 3 - 4i$. Здесь действительная часть $x = 3$, а мнимая часть $y = -4$.
1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}$ $\sin\varphi = \frac{y}{r} = \frac{-4}{5}$ Число находится в IV четверти комплексной плоскости. Аргумент можно выразить через арктангенс: $\varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) = -\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$.
3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{-i \arctan(4/3)}$.
Ответ: $5e^{-i \arctan(4/3)}$.
б) $1 + i$
Дано комплексное число $z = 1 + i$. Здесь $x = 1$, $y = 1$.
1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Число находится в I четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = \frac{\pi}{4}$.
3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.
Ответ: $\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$.
в) $1 - i$
Дано комплексное число $z = 1 - i$. Здесь $x = 1$, $y = -1$.
1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin\varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ Число находится в IV четверти. Этим условиям соответствует угол $\varphi = -\frac{\pi}{4}$.
3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.
Ответ: $\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$.
г) $1 + 2i$
Дано комплексное число $z = 1 + 2i$. Здесь $x = 1$, $y = 2$.
1. Находим модуль числа $r$: $r = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
2. Находим аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\sin\varphi = \frac{2}{\sqrt{5}}$ Число находится в I четверти. Аргумент можно выразить через арктангенс: $\varphi = \arctan\left(\frac{2}{1}\right) = \arctan(2)$.
3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = \sqrt{5}e^{i \arctan(2)}$.
Ответ: $\sqrt{5}e^{i \arctan(2)}$.
д) $5$
Дано комплексное число $z = 5$. Это действительное число, поэтому $x = 5$, $y = 0$.
1. Модуль числа $r = |5| = 5$.
2. Аргумент $\varphi$: число находится на положительной действительной оси, поэтому угол $\varphi = 0$.
3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{i \cdot 0}$.
Ответ: $5e^{i0}$.
е) $-3$
Дано комплексное число $z = -3$. Это действительное число, $x = -3$, $y = 0$.
1. Модуль числа $r = |-3| = 3$.
2. Аргумент $\varphi$: число находится на отрицательной действительной оси, поэтому угол $\varphi = \pi$.
3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 3e^{i\pi}$.
Ответ: $3e^{i\pi}$.
ж) $5i$
Дано комплексное число $z = 5i$. Это чисто мнимое число, $x = 0$, $y = 5$.
1. Модуль числа $r = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5$.
2. Аргумент $\varphi$: число находится на положительной мнимой оси, поэтому угол $\varphi = \frac{\pi}{2}$.
3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 5e^{i\frac{\pi}{2}}$.
Ответ: $5e^{i\frac{\pi}{2}}$.
з) $-3i$
Дано комплексное число $z = -3i$. Это чисто мнимое число, $x = 0$, $y = -3$.
1. Модуль числа $r = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$.
2. Аргумент $\varphi$: число находится на отрицательной мнимой оси, поэтому угол $\varphi = -\frac{\pi}{2}$.
3. Записываем число в показательной форме: $z = re^{i\varphi} = 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$.
Ответ: $3e^{-i\frac{\pi}{2}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 18.5 расположенного на странице 408 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №18.5 (с. 408), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.