Номер 3, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 3, страница 410.

Условие.

3 a) $90 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right);$

б) $\frac{\sqrt{7} + \sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} - 2 \sqrt{\frac{14}{25}};$

В) $\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим выражение $90 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \right)$.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель: $(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})$.
Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.
Теперь преобразуем числитель:
$\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) - \sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) - (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (2+\sqrt{6}) - (2-\sqrt{6}) = 2+\sqrt{6}-2+\sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2\sqrt{6}}{-1} = -2\sqrt{6}$.
Осталось умножить на 90:
$90 \cdot (-2\sqrt{6}) = -180\sqrt{6}$.
Ответ: $-180\sqrt{6}$.

б)

Решим выражение $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} - 2\sqrt{\frac{14}{25}}$.
Упростим первое слагаемое, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{7}+\sqrt{2})$:
$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})}{(\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{7 + 2\sqrt{7}\sqrt{2} + 2}{7 - 2} = \frac{9 + 2\sqrt{14}}{5}$.
Теперь упростим второе слагаемое:
$2\sqrt{\frac{14}{25}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{25}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{14}}{5} = \frac{2\sqrt{14}}{5}$.
Выполним вычитание:
$\frac{9 + 2\sqrt{14}}{5} - \frac{2\sqrt{14}}{5} = \frac{9 + 2\sqrt{14} - 2\sqrt{14}}{5} = \frac{9}{5}$.
Ответ: $\frac{9}{5}$.

в)

Решим выражение $\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Будем последовательно упрощать выражение, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
Сначала перемножим первые два множителя:
$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = \sqrt{(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})}$.
По формуле разности квадратов это равно:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}}$.
Теперь наше выражение выглядит так:
$\sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
Снова перемножим первые два множителя:
$\sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$.
Выражение упростилось до:
$\sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
И последний раз применяем формулу разности квадратов:
$\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.
Ответ: $1$.