Номер 8, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 8, страница 410.

Условие.

8 Найдите натуральные числа $n$, для которых $(\text{НОД} (n; 4))^2 = n$, где $\text{НОД} (n; 4)$ — наибольший общий делитель чисел $n$ и $4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Пусть $d = \text{НОД}(n; 4)$. По определению, наибольший общий делитель (НОД) является делителем каждого из чисел. Следовательно, $d$ должен быть делителем числа 4. Натуральными делителями числа 4 являются числа 1, 2 и 4. Это означает, что $\text{НОД}(n; 4)$ может принимать только одно из этих трех значений.

Рассмотрим последовательно каждый из этих возможных случаев.

1. Пусть $\text{НОД}(n; 4) = 1$. Подставим это значение в исходное уравнение $(\text{НОД}(n; 4))^2 = n$. Получим: $1^2 = n$, $n = 1$. Теперь необходимо проверить, соответствует ли найденное значение $n$ нашему первоначальному предположению. Проверим $\text{НОД}(1; 4)$. Наибольший общий делитель чисел 1 и 4 действительно равен 1. Предположение верно, следовательно, $n = 1$ является решением.

2. Пусть $\text{НОД}(n; 4) = 2$. Подставим это значение в уравнение: $2^2 = n$, $n = 4$. Проверим наше предположение для $n=4$: $\text{НОД}(4; 4)$. Наибольший общий делитель числа 4 и 4 равен 4. Это противоречит нашему предположению, что $\text{НОД}(n; 4) = 2$. Следовательно, в этом случае решений нет.

3. Пусть $\text{НОД}(n; 4) = 4$. Подставим это значение в уравнение: $4^2 = n$, $n = 16$. Проверим предположение для $n=16$: $\text{НОД}(16; 4)$. Наибольший общий делитель чисел 16 и 4 равен 4 (так как 16 делится на 4). Это соответствует нашему предположению. Следовательно, $n = 16$ является решением.

Мы рассмотрели все возможные значения для $\text{НОД}(n; 4)$ и нашли, что уравнению удовлетворяют два натуральных числа.

Ответ: 1, 16.