Номер 10, страница 410 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 10, страница 410.

Условие.

Вычислите без таблиц и калькулятора (10–15):

10 а) $\arccos(\sin 5) + \arcsin(\cos 5);$

б) $\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} 4) + \operatorname{arcctg}(-\operatorname{tg} 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $arccos(\sin 5) + \arcsin(\cos 5)$

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы приведения и определения обратных тригонометрических функций.

Сначала преобразуем аргументы внутри обратных функций, используя формулы приведения:

$\sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$

$\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$

Применив их, получим:

$arccos(\sin 5) = arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - 5))$

$\arcsin(\cos 5) = \arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 5))$

Теперь нужно вычислить значение каждого слагаемого.

1. Вычислим $arccos(\cos(\frac{\pi}{2} - 5))$.

По определению, область значений функции $y = \arccos(x)$ является отрезок $[0, \pi]$. Таким образом, нам нужно найти такое число $\alpha \in [0, \pi]$, что $\cos(\alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - 5)$.

Оценим значение аргумента $\frac{\pi}{2} - 5$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14159$, получаем:

$\frac{\pi}{2} - 5 \approx \frac{3.14159}{2} - 5 = 1.5708 - 5 = -3.4292$.

Это значение не принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Используем свойство четности косинуса $\cos(-x) = \cos(x)$:

$\cos(\frac{\pi}{2} - 5) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - 5)) = \cos(5 - \frac{\pi}{2})$.

Оценим новое значение $5 - \frac{\pi}{2} \approx 5 - 1.5708 = 3.4292$.

Это значение также не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, так как $3.4292 > \pi$.

Используем периодичность косинуса и свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$. Для угла $\theta = 5 - \frac{\pi}{2}$, который находится в интервале $(\pi, 2\pi)$, значение арккосинуса будет $2\pi - \theta$.

$arccos(\cos(5 - \frac{\pi}{2})) = 2\pi - (5 - \frac{\pi}{2}) = 2\pi - 5 + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} - 5$.

Проверим, что $\frac{5\pi}{2} - 5$ лежит в отрезке $[0, \pi]$: $\frac{5 \cdot 3.14159}{2} - 5 \approx 7.854 - 5 = 2.854$, и $0 \le 2.854 \le \pi$.

Итак, $arccos(\sin 5) = \frac{5\pi}{2} - 5$.

2. Вычислим $\arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 5))$.

Область значений функции $y = \arcsin(x)$ — отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Нам нужно найти такое число $\beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, что $\sin(\beta) = \sin(\frac{\pi}{2} - 5)$.

Как мы уже знаем, $\frac{\pi}{2} - 5 \approx -3.4292$. Это значение не принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \approx [-1.5708, 1.5708]$.

Используем свойство $\sin(x) = \sin(-x-\pi)$ для $x \in [-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]$. Так как $-\frac{3\pi}{2} \approx -4.712$ и $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, то наш угол $\frac{\pi}{2} - 5$ находится в этом интервале.

Значит, $\arcsin(\sin(\frac{\pi}{2} - 5)) = -\pi - (\frac{\pi}{2} - 5) = -\pi - \frac{\pi}{2} + 5 = 5 - \frac{3\pi}{2}$.

Проверим, что $5 - \frac{3\pi}{2}$ лежит в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: $5 - \frac{3 \cdot 3.14159}{2} \approx 5 - 4.712 = 0.288$, и $-\frac{\pi}{2} \le 0.288 \le \frac{\pi}{2}$.

Итак, $\arcsin(\cos 5) = 5 - \frac{3\pi}{2}$.

3. Найдем сумму:

$(\frac{5\pi}{2} - 5) + (5 - \frac{3\pi}{2}) = \frac{5\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} - 5 + 5 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$

б) $arcctg(ctg 4) + arcctg(-tg 4)$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. Вычислим $arcctg(ctg 4)$.

Область значений функции $y = arcctg(x)$ — это интервал $(0, \pi)$. Нам нужно найти такое $\alpha \in (0, \pi)$, что $ctg(\alpha) = ctg(4)$.

Аргумент 4 (в радианах) не принадлежит интервалу $(0, \pi)$, так как $\pi \approx 3.14159$ и $4 > \pi$.

Функция котангенс имеет период $\pi$, то есть $ctg(x) = ctg(x + k\pi)$ для любого целого $k$.

Найдем такое $k$, чтобы значение $4 + k\pi$ попало в интервал $(0, \pi)$.

При $k=-1$ получаем $4 - \pi \approx 4 - 3.14159 = 0.85841$.

Так как $0 < 0.85841 < \pi$, то это значение нам подходит.

Следовательно, $arcctg(ctg 4) = 4 - \pi$.

2. Вычислим $arcctg(-tg 4)$.

Сначала воспользуемся свойством арккотангенса $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$:

$arcctg(-tg 4) = \pi - arcctg(tg 4)$.

Теперь преобразуем тангенс в котангенс, используя формулу приведения $tg(x) = ctg(\frac{\pi}{2} - x)$:

$arcctg(tg 4) = arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - 4))$.

Нам нужно найти такое $\beta \in (0, \pi)$, что $ctg(\beta) = ctg(\frac{\pi}{2} - 4)$.

Оценим значение $\frac{\pi}{2} - 4 \approx 1.5708 - 4 = -2.4292$.

Это значение не принадлежит интервалу $(0, \pi)$. Снова используем периодичность котангенса.

При $k=1$ получаем $\frac{\pi}{2} - 4 + \pi = \frac{3\pi}{2} - 4$.

Оценим это значение: $\frac{3\pi}{2} - 4 \approx 4.7124 - 4 = 0.7124$.

Так как $0 < 0.7124 < \pi$, то $arcctg(ctg(\frac{\pi}{2} - 4)) = \frac{3\pi}{2} - 4$.

Теперь подставим это в наше выражение для второго слагаемого:

$arcctg(-tg 4) = \pi - (\frac{3\pi}{2} - 4) = \pi - \frac{3\pi}{2} + 4 = 4 - \frac{\pi}{2}$.

3. Найдем сумму:

$(4 - \pi) + (4 - \frac{\pi}{2}) = 4 + 4 - \pi - \frac{\pi}{2} = 8 - \frac{2\pi + \pi}{2} = 8 - \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $8 - \frac{3\pi}{2}$