Номер 16, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 16, страница 411.

Условие.

16 Определите, что больше:

a) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \log_{81} \left(\frac{1}{27}\right)$ или $\sin \frac{43\pi}{6} \cdot \text{tg}^3 \left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \text{ctg} \frac{4\pi}{3}$;

б) $\text{arcctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\log_{5\sqrt{5}} \frac{1}{125}\right)^2$ или $\cos^2 \frac{31\pi}{6} \cdot \text{tg} \frac{29\pi}{6} \cdot \text{tg} \frac{11\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Сравним два выражения: $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \log_{81}\left(\frac{1}{27}\right) $ и $ \sin\frac{43\pi}{6} \cdot \text{tg}^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \text{ctg}\frac{4\pi}{3} $.
Вычислим значение первого выражения.
1. $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) $ — это угол в диапазоне $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
2. $ \log_{81}\left(\frac{1}{27}\right) $. Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 3: $ 81 = 3^4 $ и $ \frac{1}{27} = 3^{-3} $. Тогда $ \log_{81}\left(\frac{1}{27}\right) = \log_{3^4}(3^{-3}) = \frac{-3}{4}\log_3(3) = -\frac{3}{4} $.
3. Результат для первого выражения: $ \frac{2\pi}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6\pi}{12} = -\frac{\pi}{2} $.
Теперь вычислим значение второго выражения.
1. $ \sin\frac{43\pi}{6} = \sin\left(\frac{36\pi + 7\pi}{6}\right) = \sin\left(6\pi + \frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $.
2. $ \text{tg}^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) $. Сначала найдем $ \text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right) $. Тангенс — нечетная функция, поэтому $ \text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{8\pi}{3}\right) $. $ \frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi+2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} $. $ -\text{tg}\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\left(-\text{tg}\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $. Тогда $ \text{tg}^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} $.
3. $ \text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \text{ctg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
4. Результат для второго выражения: $ \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{3}{2} $.
Сравним полученные значения: $ -\frac{\pi}{2} $ и $ -\frac{3}{2} $. Так как $ \pi \approx 3.14159 $, то $ \pi > 3 $. Разделим обе части на 2: $ \frac{\pi}{2} > \frac{3}{2} $. При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{3}{2} $. Следовательно, второе выражение больше.
Ответ: $ \sin\frac{43\pi}{6} \cdot \text{tg}^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \text{ctg}\frac{4\pi}{3} $.

б) Сравним два выражения: $ \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125}\right)^2 $ и $ \cos^2\frac{31\pi}{6} \cdot \text{tg}\frac{29\pi}{6} \cdot \text{tg}\frac{11\pi}{3} $.
Вычислим значение первого выражения.
1. $ \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $ — это угол в диапазоне $ (0, \pi) $, котангенс которого равен $ -\frac{1}{\sqrt{3}} $. Этот угол равен $ \pi - \text{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
2. $ \left(\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125}\right)^2 $. Сначала вычислим логарифм. Представим основание и аргумент как степени числа 5: $ 5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2} $ и $ \frac{1}{125} = 5^{-3} $. $ \log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125} = \log_{5^{3/2}}(5^{-3}) = \frac{-3}{3/2}\log_5(5) = -2 $. Возводим в квадрат: $ (-2)^2 = 4 $.
3. Результат для первого выражения: $ \frac{2\pi}{3} \cdot 4 = \frac{8\pi}{3} $.
Теперь вычислим значение второго выражения.
1. $ \cos^2\frac{31\pi}{6} $. Сначала найдем $ \cos\frac{31\pi}{6} = \cos\left(\frac{30\pi+\pi}{6}\right) = \cos\left(5\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Возводим в квадрат: $ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} $.
2. $ \text{tg}\frac{29\pi}{6} = \text{tg}\left(\frac{30\pi-\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(5\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg}\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $.
3. $ \text{tg}\frac{11\pi}{3} = \text{tg}\left(\frac{12\pi-\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(4\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} $.
4. Результат для второго выражения: $ \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{4} $.
Сравним полученные значения: $ \frac{8\pi}{3} $ и $ \frac{3}{4} $. Так как $ \pi > 0 $, оба числа положительны. Сравним $ 8\pi/3 $ и $ 3/4 $. Домножим оба числа на 12: $ 32\pi $ и $ 9 $. Поскольку $ \pi \approx 3.14 $, $ 32\pi \approx 100.48 $, что очевидно больше 9. Следовательно, $ \frac{8\pi}{3} > \frac{3}{4} $, и первое выражение больше.
Ответ: $ \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125}\right)^2 $.