Номер 19, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 19, страница 411.

Условие.

19 Известно, что для некоторой тройки чисел x, y, z (x ≠ y) выражения:

a) $\log_{x^5 y^2 z} \left(\frac{\sqrt[3]{x^2 y}}{z}\right)$ и $\log_{x^2 y^5 z} \left(\frac{\sqrt{xy}}{z}\right)$;

б) $\log_{\left(\frac{y^3 z^2}{x}\right)} \left(x^3 \sqrt[3]{\frac{y^4}{z}}\right)$ и $\log_{\left(\frac{y^2 z^3}{x}\right)} (x\sqrt{yz})$

равны одному и тому же числу. Найдите это число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Пусть искомое число равно $A$. Тогда по условию задачи имеем два равенства:
$ \log_{(x^5 y^2 z)} \left(\frac{\sqrt[3]{x^2 y}}{z}\right) = A $
$ \log_{(x^2 y^5 z)} \left(\frac{\sqrt{xy}}{z}\right) = A $

Перейдем от логарифмической формы записи к показательной, используя определение логарифма $\log_b a = c \iff b^c = a$:
1) $ (x^5 y^2 z)^A = \frac{\sqrt[3]{x^2 y}}{z} $
2) $ (x^2 y^5 z)^A = \frac{\sqrt{xy}}{z} $

Преобразуем правые части уравнений, используя свойства степеней:
1) $ (x^5 y^2 z)^A = x^{2/3} y^{1/3} z^{-1} $
2) $ (x^2 y^5 z)^A = x^{1/2} y^{1/2} z^{-1} $

Разделим первое уравнение на второе:
$ \frac{(x^5 y^2 z)^A}{(x^2 y^5 z)^A} = \frac{x^{2/3} y^{1/3} z^{-1}}{x^{1/2} y^{1/2} z^{-1}} $

Упростим левую и правую части полученного уравнения:
Левая часть: $ \left(\frac{x^5 y^2 z}{x^2 y^5 z}\right)^A = \left(\frac{x^3}{y^3}\right)^A = \left(\left(\frac{x}{y}\right)^3\right)^A = \left(\frac{x}{y}\right)^{3A} $
Правая часть: $ \frac{x^{2/3} y^{1/3}}{x^{1/2} y^{1/2}} = x^{2/3 - 1/2} y^{1/3 - 1/2} = x^{4/6 - 3/6} y^{2/6 - 3/6} = x^{1/6} y^{-1/6} = \left(\frac{x}{y}\right)^{1/6} $

Приравнивая левую и правую части, получаем:
$ \left(\frac{x}{y}\right)^{3A} = \left(\frac{x}{y}\right)^{1/6} $

Поскольку по условию $x \neq y$, то основание степени $\frac{x}{y} \neq 1$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степеней:
$ 3A = \frac{1}{6} $
$ A = \frac{1}{18} $

Ответ: $ \frac{1}{18} $

б) Пусть искомое число равно $A$. По условию:
$ \log_{\frac{y^3 z^2}{x}} \left(x^3 \sqrt[3]{\frac{y^4}{z}}\right) = A $
$ \log_{\frac{y^2 z^3}{x}} (x \sqrt{yz}) = A $

Перейдем к показательной форме и запишем выражения через степени:
1) $ \left(\frac{y^3 z^2}{x}\right)^A = x^3 \left(\frac{y^4}{z}\right)^{1/3} \implies (x^{-1} y^3 z^2)^A = x^3 y^{4/3} z^{-1/3} $
2) $ \left(\frac{y^2 z^3}{x}\right)^A = x (yz)^{1/2} \implies (x^{-1} y^2 z^3)^A = x^1 y^{1/2} z^{1/2} $

Разделим первое уравнение на второе, как и в пункте а):
$ \left(\frac{x^{-1} y^3 z^2}{x^{-1} y^2 z^3}\right)^A = \frac{x^3 y^{4/3} z^{-1/3}}{x^1 y^{1/2} z^{1/2}} $

Упростим обе части:
Левая часть: $ \left(\frac{y}{z}\right)^A $
Правая часть: $ x^{3-1} y^{4/3 - 1/2} z^{-1/3 - 1/2} = x^2 y^{5/6} z^{-5/6} = x^2 \left(\frac{y}{z}\right)^{5/6} $

Получаем уравнение:
$ \left(\frac{y}{z}\right)^A = x^2 \left(\frac{y}{z}\right)^{5/6} $

В данном виде уравнение содержит три переменные $x, y, z$ и не позволяет однозначно определить значение $A$. Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи, так как подобные задания обычно имеют однозначное решение, основанное на структурной симметрии, как в пункте а). Структура нарушена из-за разных степеней переменной $x$ в аргументах логарифмов.

Предположим, что в первом аргументе степень $x$ должна быть не 3, а 1, то есть аргумент имеет вид $x \sqrt[3]{\frac{y^4}{z}}$. В этом случае первое уравнение примет вид:
1') $ (x^{-1} y^3 z^2)^A = x^1 y^{4/3} z^{-1/3} $

Теперь разделим уравнение 1') на уравнение 2):
$ \left(\frac{y}{z}\right)^A = \frac{x^1 y^{4/3} z^{-1/3}}{x^1 y^{1/2} z^{1/2}} $
$ \left(\frac{y}{z}\right)^A = y^{4/3 - 1/2} z^{-1/3 - 1/2} = y^{5/6} z^{-5/6} = \left(\frac{y}{z}\right)^{5/6} $

При условии $y \neq z$, мы можем приравнять показатели:
$ A = \frac{5}{6} $

Заметим, что если бы мы предположили другую опечатку (например, что во втором аргументе $x$ стоит в степени 3, как и в первом), результат был бы тем же. Это усиливает уверенность в том, что искомое значение $A=5/6$.

Ответ: $ \frac{5}{6} $