Номер 18, страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 18, страница 411.

Условие.

18 Известно, что:

a) $ \operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{3} $. Сравните $ \arccos \left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - \frac{3}{4}}\right) $ и $ \frac{19\pi}{24} $;

б) $ \operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3} $. Сравните $ \arccos \left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - 1}\right) $ и $ \frac{19\pi}{24} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Из условия $\text{ctg } \alpha = \sqrt{3}$ следует, что общее решение для $\alpha$ имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В зависимости от значения $n$, $\sin \alpha$ может принимать два значения:

• Если $n$ четное ($n=2k$), то $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, и $\sin \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
• Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), то $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$, и $\sin \alpha = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим выражение $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - \frac{3}{4}}\right)$. Область определения этого выражения требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$-3 \sin \alpha - \frac{3}{4} \geq 0$

$-3 \sin \alpha \geq \frac{3}{4}$

$\sin \alpha \leq -\frac{1}{4}$

Из двух возможных значений для $\sin \alpha$ этому условию удовлетворяет только $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\arccos\left(-\sqrt{-3 \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{3}{4}}\right) = \arccos\left(-\sqrt{\frac{3}{2} - \frac{3}{4}}\right) = \arccos\left(-\sqrt{\frac{6}{4} - \frac{3}{4}}\right) = \arccos\left(-\sqrt{\frac{3}{4}}\right) = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Значение арккосинуса по определению находится в промежутке $[0, \pi]$. Таким образом:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь необходимо сравнить полученное значение $\frac{5\pi}{6}$ с числом $\frac{19\pi}{24}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 4 \pi}{6 \cdot 4} = \frac{20\pi}{24}$.

Сравниваем $\frac{20\pi}{24}$ и $\frac{19\pi}{24}$.

Так как $20 > 19$, то $\frac{20\pi}{24} > \frac{19\pi}{24}$.

Следовательно, $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - \frac{3}{4}}\right) > \frac{19\pi}{24}$.

Ответ: $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - \frac{3}{4}}\right) > \frac{19\pi}{24}$.

б)

Из условия $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$ следует, что $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При таких значениях $\alpha$ синус может принимать два значения:

• Если $n$ четное ($n=2k$), то $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, и $\sin \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), то $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$, и $\sin \alpha = \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим выражение $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - 1}\right)$. Для того чтобы это выражение было определено, необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$-3 \sin \alpha - 1 \geq 0 \Rightarrow -3 \sin \alpha \geq 1 \Rightarrow \sin \alpha \leq -\frac{1}{3}$.

Из двух возможных значений для $\sin \alpha$ этому условию удовлетворяет только $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, так как $\frac{\sqrt{3}}{2} > 0 > -\frac{1}{3}$, а $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866 < -\frac{1}{3}$.

2. Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

Вычислим значение аргумента, подставив $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$x = -\sqrt{-3 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 1} = -\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1} = -\sqrt{\frac{3\sqrt{3} - 2}{2}}$.

Проверим, принадлежит ли $x$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $x$ — отрицательное число, достаточно проверить, выполняется ли неравенство $x \geq -1$:

$-\sqrt{\frac{3\sqrt{3} - 2}{2}} \geq -1$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\sqrt{\frac{3\sqrt{3} - 2}{2}} \leq 1$

Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:

$\frac{3\sqrt{3} - 2}{2} \leq 1$

$3\sqrt{3} - 2 \leq 2$

$3\sqrt{3} \leq 4$

Снова возведем обе положительные части в квадрат:

$(3\sqrt{3})^2 \leq 4^2$

$9 \cdot 3 \leq 16$

$27 \leq 16$

Последнее неравенство является ложным. Это означает, что $x < -1$, и, следовательно, аргумент функции $\arccos$ выходит за пределы ее области определения.

Таким образом, выражение $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - 1}\right)$ не определено.

Ответ: Сравнение невозможно, так как выражение $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - 1}\right)$ не определено.