Страница 411 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11 a) $tg 8x$, если $tg 2x = \frac{1}{4}$;

б) $tg 4x$, если $tg x = \frac{1}{3}$.

а)

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой тангенса двойного угла: $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Нам нужно найти $tg(8x)$, зная $tg(2x)$. Заметим, что $8x = 2 \cdot 4x$, а $4x = 2 \cdot 2x$. Поэтому мы применим формулу дважды.

Шаг 1: Найдем $tg(4x)$.
Пусть $\alpha = 2x$. Тогда, используя формулу и данное значение $tg(2x) = \frac{1}{4}$:
$tg(4x) = tg(2 \cdot 2x) = \frac{2tg(2x)}{1 - tg^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$.

Шаг 2: Найдем $tg(8x)$.
Теперь пусть $\alpha = 4x$. Используем найденное значение $tg(4x) = \frac{8}{15}$:
$tg(8x) = tg(2 \cdot 4x) = \frac{2tg(4x)}{1 - tg^2(4x)} = \frac{2 \cdot \frac{8}{15}}{1 - (\frac{8}{15})^2} = \frac{\frac{16}{15}}{1 - \frac{64}{225}} = \frac{\frac{16}{15}}{\frac{225 - 64}{225}} = \frac{\frac{16}{15}}{\frac{161}{225}} = \frac{16}{15} \cdot \frac{225}{161} = \frac{16 \cdot 15}{161} = \frac{240}{161}$.

Ответ: $\frac{240}{161}$.

б)

Аналогично пункту а), мы будем использовать формулу тангенса двойного угла $tg(2\alpha) = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$.
Нам нужно найти $tg(4x)$, зная $tg(x) = \frac{1}{3}$. Так как $4x = 2 \cdot 2x$, мы применим формулу дважды.

Шаг 1: Найдем $tg(2x)$.
Пусть $\alpha = x$. Используем данное значение $tg(x) = \frac{1}{3}$:
$tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Шаг 2: Найдем $tg(4x)$.
Теперь пусть $\alpha = 2x$. Используем найденное значение $tg(2x) = \frac{3}{4}$:
$tg(4x) = tg(2 \cdot 2x) = \frac{2tg(2x)}{1 - tg^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{16 - 9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7}$.

Ответ: $\frac{24}{7}$.

12 a) $\operatorname{tg} 20^\circ + \operatorname{tg} 25^\circ + \operatorname{ctg} 70^\circ \operatorname{ctg} 245^\circ;$

б) $2 + \log_2 \sin 7^\circ 30' + \log_2 \sin 82^\circ 30' - \log_{0.5} \sin 75^\circ;$

в) $\sin \left(\arccos \frac{1}{3} - \operatorname{arctg} 2\right).$

а)

Упростим данное выражение, используя тригонометрические тождества и формулы приведения.

Сначала преобразуем $ctg 70°$ и $ctg 245°$:

$ctg 70° = ctg(90° - 20°) = tg 20°$

$ctg 245° = ctg(180° + 65°) = ctg 65° = ctg(90° - 25°) = tg 25°$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$tg 20° + tg 25° + ctg 70° ctg 245° = tg 20° + tg 25° + tg 20° tg 25°$

Рассмотрим формулу тангенса суммы двух углов:

$tg(α + β) = \frac{tgα + tgβ}{1 - tgα tgβ}$

Пусть $α = 20°$ и $β = 25°$. Тогда $α + β = 45°$, и мы знаем, что $tg(45°) = 1$.

$tg(20° + 25°) = \frac{tg 20° + tg 25°}{1 - tg 20° tg 25°} = 1$

Из этого равенства можно выразить сумму $tg 20° + tg 25°$:

$tg 20° + tg 25° = 1 \cdot (1 - tg 20° tg 25°) = 1 - tg 20° tg 25°$

Теперь подставим полученное выражение в наше преобразованное выражение:

$(1 - tg 20° tg 25°) + tg 20° tg 25° = 1$

Ответ: 1

б)

Преобразуем исходное выражение $2 + log_2 sin 7°30' + log_2 sin 82°30' - log_{0.5} sin 75°$.

Сначала приведем все логарифмы к основанию 2. Используем формулу смены основания $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$:

$log_{0.5} sin 75° = log_{2^{-1}} sin 75° = \frac{log_2 sin 75°}{log_2 2^{-1}} = \frac{log_2 sin 75°}{-1} = -log_2 sin 75°$

Тогда $- log_{0.5} sin 75° = -(-log_2 sin 75°) = log_2 sin 75°$.

Переведем угловые минуты в десятичные доли градуса: $7°30' = 7.5°$ и $82°30' = 82.5°$.

Выражение принимает вид:

$2 + log_2 sin 7.5° + log_2 sin 82.5° + log_2 sin 75°$

Используя свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$, объединим логарифмы:

$2 + log_2(sin 7.5° \cdot sin 82.5° \cdot sin 75°)$

Упростим произведение синусов. Используем формулу приведения $sin(90° - α) = cos α$:

$sin 82.5° = sin(90° - 7.5°) = cos 7.5°$

Произведение становится: $sin 7.5° \cdot cos 7.5° \cdot sin 75°$.

Применим формулу синуса двойного угла $sin(2α) = 2 sinα cosα$, из которой следует $sinα cosα = \frac{1}{2} sin(2α)$:

$sin 7.5° \cdot cos 7.5° = \frac{1}{2} sin(2 \cdot 7.5°) = \frac{1}{2} sin(15°)$

Теперь произведение равно: $\frac{1}{2} sin(15°) \cdot sin 75°$.

Снова используем формулу приведения: $sin 75° = sin(90° - 15°) = cos 15°$.

Получаем: $\frac{1}{2} sin(15°) \cdot cos 15°$.

И еще раз применяем формулу синуса двойного угла:

$\frac{1}{2} (sin 15° \cdot cos 15°) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} sin(2 \cdot 15°)) = \frac{1}{4} sin(30°)$

Так как $sin 30° = \frac{1}{2}$, то значение произведения равно $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Подставим это значение обратно в исходное выражение:

$2 + log_2(\frac{1}{8}) = 2 + log_2(2^{-3}) = 2 - 3 = -1$

Ответ: -1

в)

Для вычисления значения выражения $sin(arccos\frac{1}{3} - arctg 2)$ воспользуемся формулой синуса разности:

$sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ$

Пусть $α = arccos\frac{1}{3}$ и $β = arctg 2$.

Найдем значения тригонометрических функций для углов $α$ и $β$.

1. Для $α = arccos\frac{1}{3}$:

По определению, $cosα = \frac{1}{3}$. Область значений арккосинуса — $[0, π]$. Так как $cosα > 0$, угол $α$ находится в первой четверти, следовательно, $sinα > 0$.

Из основного тригонометрического тождества $sin^2α + cos^2α = 1$ находим $sinα$:

$sinα = \sqrt{1 - cos^2α} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

2. Для $β = arctg 2$:

По определению, $tgβ = 2$. Область значений арктангенса — $(-\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$. Так как $tgβ > 0$, угол $β$ находится в первой четверти, следовательно, $sinβ > 0$ и $cosβ > 0$.

Из тождества $1 + tg^2β = \frac{1}{cos^2β}$ находим $cosβ$:

$cos^2β = \frac{1}{1 + tg^2β} = \frac{1}{1 + 2^2} = \frac{1}{5} \Rightarrow cosβ = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Зная $tgβ$ и $cosβ$, находим $sinβ$:

$sinβ = tgβ \cdot cosβ = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. Подставляем найденные значения в формулу синуса разности:

$sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{10}}{15} - \frac{2\sqrt{5}}{15} = \frac{2\sqrt{10} - 2\sqrt{5}}{15}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{10} - 2\sqrt{5}}{15}$

$13 \frac{\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\frac{3\pi}{2}\right)^2}{2 \sin\frac{\pi}{6} \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} + \cos(-\pi) - \sin\frac{\pi}{4}}$

Для решения данного примера необходимо последовательно вычислить значения числителя и знаменателя, а затем найти их частное.

Исходное выражение:

$$ \frac{13 \left(\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\frac{3\pi}{2}\right)^2}{2 \sin\frac{\pi}{6} \tg\frac{\pi}{4} + \cos(-\pi) - \sin\frac{\pi}{4}} $$

1. Вычислим значение выражения в числителе.

Сначала найдем значения тригонометрических функций в скобках: $ \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \sin\frac{3\pi}{2} $.

Функция косинус является четной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$. Поэтому:

$\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$

Значение синуса от угла $\frac{3\pi}{2}$ равно -1:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$

Теперь подставим эти значения в выражение в скобках и возведем в квадрат:

$\left(0 - (-1)\right)^2 = (1)^2 = 1$

Наконец, умножим результат на 13:

$13 \cdot 1 = 13$

Таким образом, числитель дроби равен 13.

2. Вычислим значение выражения в знаменателе.

Знаменатель дроби: $2 \sin\frac{\pi}{6} \tg\frac{\pi}{4} + \cos(-\pi) - \sin\frac{\pi}{4}$.

Найдем значения всех тригонометрических функций в знаменателе, используя табличные значения:

• $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
• $\tg\frac{\pi}{4} = 1$
• $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$ (так как косинус - четная функция)
• $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим найденные значения в выражение для знаменателя:

$2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 + (-1) - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot 1 - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, знаменатель дроби равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Найдем итоговое значение выражения.

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{13}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 13 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{26}{\sqrt{2}}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$-\frac{26 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{26\sqrt{2}}{2} = -13\sqrt{2}$

Ответ: $-13\sqrt{2}$.

14 a) $10\log_3 (5 + 2\sqrt{6}) + \log_3 (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 21\log_3 (\sqrt{3} - \sqrt{2});$

б) $12\log_2 (8 + 2\sqrt{15}) + \log_2 (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25\log_2 (\sqrt{5} - \sqrt{3}).$

а) Для решения выражения $10\log_3(5 + 2\sqrt{6}) + \log_3(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 21\log_3(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ мы сначала упростим аргументы логарифмов.
Заметим, что все логарифмы имеют одинаковое основание 3.
Упростим выражение $5 + 2\sqrt{6}$, представив его в виде полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.
Далее, рассмотрим связь между выражениями $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ и $\sqrt{3} - \sqrt{2}$. Их произведение является разностью квадратов:
$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.
Из этого следует, что $\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-1}$.
Теперь подставим эти преобразованные выражения обратно в исходное:
$10\log_3\left((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\right) + \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 21\log_3\left((\sqrt{3} + \sqrt{2})^{-1}\right)$.
Применим свойство логарифма $\log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b)$:
$10 \cdot 2 \cdot \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 1 \cdot \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) + 21 \cdot (-1) \cdot \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
Вынесем общий множитель $\log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ за скобки:
$(20 + 1 - 21)\log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 0 \cdot \log_3(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 0$.
Ответ: 0

б) Для решения выражения $12\log_2(8 + 2\sqrt{15}) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25\log_2(\sqrt{5} - \sqrt{3})$ поступим аналогично.
Все логарифмы имеют основание 2. Упростим аргументы.
Представим выражение $8 + 2\sqrt{15}$ в виде полного квадрата:
$8 + 2\sqrt{15} = 5 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + 3 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2$.
Найдем произведение выражений $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{5} - \sqrt{3}$:
$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
Отсюда следует, что $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$.
Подставим упрощенные выражения в исходное:
$12\log_2\left((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2\right) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25\log_2\left(\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}\right)$.
Используем свойства логарифмов $\log_a(b^n) = n \cdot \log_a(b)$ и $\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) - \log_a(c)$:
$12 \cdot 2 \cdot \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25(\log_2(2) - \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}))$.
Так как $\log_2(2) = 1$, выражение принимает вид:
$24\log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25(1 - \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}))$.
Раскроем скобки:
$24\log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25 - 25\log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3})$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие логарифм:
$(24 + 1 - 25)\log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25 = 0 \cdot \log_2(\sqrt{5} + \sqrt{3}) + 25 = 0 + 25 = 25$.
Ответ: 25

15 а) $3^{\log_2 5} \cdot 5^{-\log_2 3};$

б) $(\log_{\sqrt{2}} 9)(\log_8 3)^{-1}.$

а) $3^{\log_2 5} \cdot 5^{-\log_2 3}$

Для решения воспользуемся свойством логарифма $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. Применим это свойство к первому множителю $3^{\log_2 5}$.

$3^{\log_2 5} = 5^{\log_2 3}$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$5^{\log_2 3} \cdot 5^{-\log_2 3}$

Используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получим:

$5^{\log_2 3 + (-\log_2 3)} = 5^{\log_2 3 - \log_2 3} = 5^0$

Любое число в нулевой степени равно 1.

$5^0 = 1$

Ответ: 1

б) $(\log_{\sqrt{2}} 9)(\log_8 3)^{-1}$

Сначала преобразуем второй множитель, используя свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$(\log_8 3)^{-1} = \frac{1}{\log_8 3}$

Теперь применим формулу перехода к другому основанию для логарифма: $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$.

$\frac{1}{\log_8 3} = \log_3 8$

Исходное выражение примет вид:

$(\log_{\sqrt{2}} 9) \cdot (\log_3 8)$

Упростим каждый логарифм по отдельности. Для этого представим основания и аргументы логарифмов в виде степеней с одинаковыми основаниями, где это возможно, и воспользуемся свойством $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$.

$\log_{\sqrt{2}} 9 = \log_{2^{1/2}} 3^2 = \frac{2}{1/2} \log_2 3 = 4 \log_2 3$

$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3 \log_3 2$

Подставим упрощенные выражения обратно:

$(4 \log_2 3) \cdot (3 \log_3 2) = 12 \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2)$

Используем еще одно свойство логарифмов: $\log_a b \cdot \log_b a = 1$.

$12 \cdot 1 = 12$

Ответ: 12

16 Определите, что больше:

a) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \log_{81} \left(\frac{1}{27}\right)$ или $\sin \frac{43\pi}{6} \cdot \text{tg}^3 \left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \text{ctg} \frac{4\pi}{3}$;

б) $\text{arcctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\log_{5\sqrt{5}} \frac{1}{125}\right)^2$ или $\cos^2 \frac{31\pi}{6} \cdot \text{tg} \frac{29\pi}{6} \cdot \text{tg} \frac{11\pi}{3}$.

а) Сравним два выражения: $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \log_{81}\left(\frac{1}{27}\right) $ и $ \sin\frac{43\pi}{6} \cdot \text{tg}^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \text{ctg}\frac{4\pi}{3} $.
Вычислим значение первого выражения.
1. $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) $ — это угол в диапазоне $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
2. $ \log_{81}\left(\frac{1}{27}\right) $. Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 3: $ 81 = 3^4 $ и $ \frac{1}{27} = 3^{-3} $. Тогда $ \log_{81}\left(\frac{1}{27}\right) = \log_{3^4}(3^{-3}) = \frac{-3}{4}\log_3(3) = -\frac{3}{4} $.
3. Результат для первого выражения: $ \frac{2\pi}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6\pi}{12} = -\frac{\pi}{2} $.
Теперь вычислим значение второго выражения.
1. $ \sin\frac{43\pi}{6} = \sin\left(\frac{36\pi + 7\pi}{6}\right) = \sin\left(6\pi + \frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $.
2. $ \text{tg}^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) $. Сначала найдем $ \text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right) $. Тангенс — нечетная функция, поэтому $ \text{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{8\pi}{3}\right) $. $ \frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi+2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} $. $ -\text{tg}\left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\left(-\text{tg}\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} $. Тогда $ \text{tg}^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} $.
3. $ \text{ctg}\frac{4\pi}{3} = \text{ctg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
4. Результат для второго выражения: $ \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{3}{2} $.
Сравним полученные значения: $ -\frac{\pi}{2} $ и $ -\frac{3}{2} $. Так как $ \pi \approx 3.14159 $, то $ \pi > 3 $. Разделим обе части на 2: $ \frac{\pi}{2} > \frac{3}{2} $. При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный: $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{3}{2} $. Следовательно, второе выражение больше.
Ответ: $ \sin\frac{43\pi}{6} \cdot \text{tg}^3\left(-\frac{8\pi}{3}\right) \cdot \text{ctg}\frac{4\pi}{3} $.

б) Сравним два выражения: $ \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125}\right)^2 $ и $ \cos^2\frac{31\pi}{6} \cdot \text{tg}\frac{29\pi}{6} \cdot \text{tg}\frac{11\pi}{3} $.
Вычислим значение первого выражения.
1. $ \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $ — это угол в диапазоне $ (0, \pi) $, котангенс которого равен $ -\frac{1}{\sqrt{3}} $. Этот угол равен $ \pi - \text{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.
2. $ \left(\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125}\right)^2 $. Сначала вычислим логарифм. Представим основание и аргумент как степени числа 5: $ 5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2} $ и $ \frac{1}{125} = 5^{-3} $. $ \log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125} = \log_{5^{3/2}}(5^{-3}) = \frac{-3}{3/2}\log_5(5) = -2 $. Возводим в квадрат: $ (-2)^2 = 4 $.
3. Результат для первого выражения: $ \frac{2\pi}{3} \cdot 4 = \frac{8\pi}{3} $.
Теперь вычислим значение второго выражения.
1. $ \cos^2\frac{31\pi}{6} $. Сначала найдем $ \cos\frac{31\pi}{6} = \cos\left(\frac{30\pi+\pi}{6}\right) = \cos\left(5\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Возводим в квадрат: $ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} $.
2. $ \text{tg}\frac{29\pi}{6} = \text{tg}\left(\frac{30\pi-\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(5\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg}\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $.
3. $ \text{tg}\frac{11\pi}{3} = \text{tg}\left(\frac{12\pi-\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(4\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} $.
4. Результат для второго выражения: $ \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{4} $.
Сравним полученные значения: $ \frac{8\pi}{3} $ и $ \frac{3}{4} $. Так как $ \pi > 0 $, оба числа положительны. Сравним $ 8\pi/3 $ и $ 3/4 $. Домножим оба числа на 12: $ 32\pi $ и $ 9 $. Поскольку $ \pi \approx 3.14 $, $ 32\pi \approx 100.48 $, что очевидно больше 9. Следовательно, $ \frac{8\pi}{3} > \frac{3}{4} $, и первое выражение больше.
Ответ: $ \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\log_{5\sqrt{5}}\frac{1}{125}\right)^2 $.

17 Сравните два числа:

a) $ \frac{3\pi}{10} $ и $ \arccos{\frac{4}{5}} $;

б) $ \frac{2\pi}{10} $ и $ \arccos{\frac{3}{10}} $.

а) Для того чтобы сравнить числа $ \frac{3\pi}{10} $ и $ \arccos \frac{4}{5} $, мы воспользуемся свойством монотонности функции косинуса. Оба числа представляют собой углы в радианах. Определим их примерное расположение. Область значений функции арккосинус — это отрезок $ [0, \pi] $. Поскольку аргумент $ \frac{4}{5} $ положителен, угол $ \arccos \frac{4}{5} $ находится в первой четверти: $ 0 < \arccos \frac{4}{5} < \frac{\pi}{2} $. Угол $ \frac{3\pi}{10} $ также находится в первой четверти, так как $ 0 < \frac{3\pi}{10} < \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} $.

На отрезке $ [0, \pi] $ (и, в частности, на интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $) функция $ y = \cos x $ является строго убывающей. Это значит, что большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Таким образом, мы можем сравнить косинусы данных углов и на основе этого сделать вывод о самих углах, поменяв знак неравенства на противоположный.

Пусть $ x_1 = \frac{3\pi}{10} $ и $ x_2 = \arccos \frac{4}{5} $. Найдем и сравним $ \cos x_1 $ и $ \cos x_2 $.

$ \cos x_2 = \cos(\arccos \frac{4}{5}) = \frac{4}{5} $.

Для нахождения $ \cos x_1 = \cos(\frac{3\pi}{10}) $ можно использовать точные значения. Так как оба угла лежат в первой четверти, их косинусы положительны, и мы можем сравнить их квадраты.$ \cos^2 x_2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25} $.Для $ \cos^2 x_1 $ воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2} $:$ \cos^2(\frac{3\pi}{10}) = \frac{1+\cos(2 \cdot \frac{3\pi}{10})}{2} = \frac{1+\cos(\frac{3\pi}{5})}{2} $.Значение $ \cos(\frac{3\pi}{5}) $ можно найти через известный $ \cos(\frac{2\pi}{5}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} $.$ \cos(\frac{3\pi}{5}) = \cos(\pi - \frac{2\pi}{5}) = -\cos(\frac{2\pi}{5}) = -\frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{1-\sqrt{5}}{4} $.Подставим в формулу:$ \cos^2(\frac{3\pi}{10}) = \frac{1 + \frac{1-\sqrt{5}}{4}}{2} = \frac{\frac{4+1-\sqrt{5}}{4}}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{8} $.

Теперь сравним $ \frac{5-\sqrt{5}}{8} $ и $ \frac{16}{25} $. Для этого приведем их к общему знаменателю $ 200 $ или используем перекрестное умножение. Сравним $ 25(5-\sqrt{5}) $ и $ 8 \cdot 16 $.$ 125 - 25\sqrt{5} $ и $ 128 $.Вычтем $ 125 $ из обеих частей неравенства: $ -25\sqrt{5} $ и $ 3 $.Очевидно, что отрицательное число $ -25\sqrt{5} $ меньше положительного числа $ 3 $.Следовательно, $ 125 - 25\sqrt{5} < 128 $, что означает $ \frac{5-\sqrt{5}}{8} < \frac{16}{25} $.

Таким образом, $ \cos^2(\frac{3\pi}{10}) < \cos^2(\arccos \frac{4}{5}) $. Так как косинусы обоих углов положительны, то $ \cos(\frac{3\pi}{10}) < \cos(\arccos \frac{4}{5}) $.Поскольку функция косинуса убывает, для углов верно обратное неравенство: $ \frac{3\pi}{10} > \arccos \frac{4}{5} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{10} > \arccos \frac{4}{5} $.

б) Сравним числа $ \frac{2\pi}{10} $ и $ \arccos \frac{3}{10} $.Первое число можно упростить: $ \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} $.Как и в предыдущем задании, будем сравнивать косинусы этих углов, так как оба угла $ x_1 = \frac{\pi}{5} $ и $ x_2 = \arccos \frac{3}{10} $ принадлежат интервалу $ (0, \frac{\pi}{2}) $, на котором косинус является убывающей функцией.

$ \cos(x_2) = \cos(\arccos \frac{3}{10}) = \frac{3}{10} $.

$ \cos(x_1) = \cos(\frac{\pi}{5}) $. Это табличное значение, связанное с золотым сечением: $ \cos(\frac{\pi}{5}) = \cos(36^\circ) = \frac{1+\sqrt{5}}{4} $.

Теперь сравним два числа: $ \frac{1+\sqrt{5}}{4} $ и $ \frac{3}{10} $.Воспользуемся перекрестным умножением: сравним $ 10(1+\sqrt{5}) $ и $ 4 \cdot 3 $.$ 10+10\sqrt{5} $ и $ 12 $.Вычтем $ 10 $ из обеих частей: $ 10\sqrt{5} $ и $ 2 $.Так как $ \sqrt{5} > 1 $, то $ 10\sqrt{5} > 10 $, и, очевидно, $ 10\sqrt{5} > 2 $.Следовательно, $ 10+10\sqrt{5} > 12 $, и $ \frac{1+\sqrt{5}}{4} > \frac{3}{10} $.

Мы получили, что $ \cos(\frac{\pi}{5}) > \cos(\arccos \frac{3}{10}) $.Так как функция косинуса на этом интервале убывает, для самих углов будет верно обратное неравенство: $ \frac{\pi}{5} < \arccos \frac{3}{10} $.

Ответ: $ \frac{2\pi}{10} < \arccos \frac{3}{10} $.

18 Известно, что:

a) $ \operatorname{ctg} \alpha = \sqrt{3} $. Сравните $ \arccos \left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - \frac{3}{4}}\right) $ и $ \frac{19\pi}{24} $;

б) $ \operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3} $. Сравните $ \arccos \left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - 1}\right) $ и $ \frac{19\pi}{24} $.

а)

Из условия $\text{ctg } \alpha = \sqrt{3}$ следует, что общее решение для $\alpha$ имеет вид $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В зависимости от значения $n$, $\sin \alpha$ может принимать два значения:

• Если $n$ четное ($n=2k$), то $\alpha = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, и $\sin \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
• Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), то $\alpha = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$, и $\sin \alpha = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим выражение $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - \frac{3}{4}}\right)$. Область определения этого выражения требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$-3 \sin \alpha - \frac{3}{4} \geq 0$

$-3 \sin \alpha \geq \frac{3}{4}$

$\sin \alpha \leq -\frac{1}{4}$

Из двух возможных значений для $\sin \alpha$ этому условию удовлетворяет только $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\arccos\left(-\sqrt{-3 \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{3}{4}}\right) = \arccos\left(-\sqrt{\frac{3}{2} - \frac{3}{4}}\right) = \arccos\left(-\sqrt{\frac{6}{4} - \frac{3}{4}}\right) = \arccos\left(-\sqrt{\frac{3}{4}}\right) = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Значение арккосинуса по определению находится в промежутке $[0, \pi]$. Таким образом:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь необходимо сравнить полученное значение $\frac{5\pi}{6}$ с числом $\frac{19\pi}{24}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 4 \pi}{6 \cdot 4} = \frac{20\pi}{24}$.

Сравниваем $\frac{20\pi}{24}$ и $\frac{19\pi}{24}$.

Так как $20 > 19$, то $\frac{20\pi}{24} > \frac{19\pi}{24}$.

Следовательно, $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - \frac{3}{4}}\right) > \frac{19\pi}{24}$.

Ответ: $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - \frac{3}{4}}\right) > \frac{19\pi}{24}$.

б)

Из условия $\text{tg } \alpha = \sqrt{3}$ следует, что $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

При таких значениях $\alpha$ синус может принимать два значения:

• Если $n$ четное ($n=2k$), то $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, и $\sin \alpha = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), то $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$, и $\sin \alpha = \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим выражение $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - 1}\right)$. Для того чтобы это выражение было определено, необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$-3 \sin \alpha - 1 \geq 0 \Rightarrow -3 \sin \alpha \geq 1 \Rightarrow \sin \alpha \leq -\frac{1}{3}$.

Из двух возможных значений для $\sin \alpha$ этому условию удовлетворяет только $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, так как $\frac{\sqrt{3}}{2} > 0 > -\frac{1}{3}$, а $-\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0,866 < -\frac{1}{3}$.

2. Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$.

Вычислим значение аргумента, подставив $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$x = -\sqrt{-3 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 1} = -\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2} - 1} = -\sqrt{\frac{3\sqrt{3} - 2}{2}}$.

Проверим, принадлежит ли $x$ отрезку $[-1, 1]$. Так как $x$ — отрицательное число, достаточно проверить, выполняется ли неравенство $x \geq -1$:

$-\sqrt{\frac{3\sqrt{3} - 2}{2}} \geq -1$

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

$\sqrt{\frac{3\sqrt{3} - 2}{2}} \leq 1$

Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:

$\frac{3\sqrt{3} - 2}{2} \leq 1$

$3\sqrt{3} - 2 \leq 2$

$3\sqrt{3} \leq 4$

Снова возведем обе положительные части в квадрат:

$(3\sqrt{3})^2 \leq 4^2$

$9 \cdot 3 \leq 16$

$27 \leq 16$

Последнее неравенство является ложным. Это означает, что $x < -1$, и, следовательно, аргумент функции $\arccos$ выходит за пределы ее области определения.

Таким образом, выражение $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - 1}\right)$ не определено.

Ответ: Сравнение невозможно, так как выражение $\arccos\left(-\sqrt{-3 \sin \alpha - 1}\right)$ не определено.

19 Известно, что для некоторой тройки чисел x, y, z (x ≠ y) выражения:

a) $\log_{x^5 y^2 z} \left(\frac{\sqrt[3]{x^2 y}}{z}\right)$ и $\log_{x^2 y^5 z} \left(\frac{\sqrt{xy}}{z}\right)$;

б) $\log_{\left(\frac{y^3 z^2}{x}\right)} \left(x^3 \sqrt[3]{\frac{y^4}{z}}\right)$ и $\log_{\left(\frac{y^2 z^3}{x}\right)} (x\sqrt{yz})$

равны одному и тому же числу. Найдите это число.

а) Пусть искомое число равно $A$. Тогда по условию задачи имеем два равенства:
$ \log_{(x^5 y^2 z)} \left(\frac{\sqrt[3]{x^2 y}}{z}\right) = A $
$ \log_{(x^2 y^5 z)} \left(\frac{\sqrt{xy}}{z}\right) = A $

Перейдем от логарифмической формы записи к показательной, используя определение логарифма $\log_b a = c \iff b^c = a$:
1) $ (x^5 y^2 z)^A = \frac{\sqrt[3]{x^2 y}}{z} $
2) $ (x^2 y^5 z)^A = \frac{\sqrt{xy}}{z} $

Преобразуем правые части уравнений, используя свойства степеней:
1) $ (x^5 y^2 z)^A = x^{2/3} y^{1/3} z^{-1} $
2) $ (x^2 y^5 z)^A = x^{1/2} y^{1/2} z^{-1} $

Разделим первое уравнение на второе:
$ \frac{(x^5 y^2 z)^A}{(x^2 y^5 z)^A} = \frac{x^{2/3} y^{1/3} z^{-1}}{x^{1/2} y^{1/2} z^{-1}} $

Упростим левую и правую части полученного уравнения:
Левая часть: $ \left(\frac{x^5 y^2 z}{x^2 y^5 z}\right)^A = \left(\frac{x^3}{y^3}\right)^A = \left(\left(\frac{x}{y}\right)^3\right)^A = \left(\frac{x}{y}\right)^{3A} $
Правая часть: $ \frac{x^{2/3} y^{1/3}}{x^{1/2} y^{1/2}} = x^{2/3 - 1/2} y^{1/3 - 1/2} = x^{4/6 - 3/6} y^{2/6 - 3/6} = x^{1/6} y^{-1/6} = \left(\frac{x}{y}\right)^{1/6} $

Приравнивая левую и правую части, получаем:
$ \left(\frac{x}{y}\right)^{3A} = \left(\frac{x}{y}\right)^{1/6} $

Поскольку по условию $x \neq y$, то основание степени $\frac{x}{y} \neq 1$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степеней:
$ 3A = \frac{1}{6} $
$ A = \frac{1}{18} $

Ответ: $ \frac{1}{18} $

б) Пусть искомое число равно $A$. По условию:
$ \log_{\frac{y^3 z^2}{x}} \left(x^3 \sqrt[3]{\frac{y^4}{z}}\right) = A $
$ \log_{\frac{y^2 z^3}{x}} (x \sqrt{yz}) = A $

Перейдем к показательной форме и запишем выражения через степени:
1) $ \left(\frac{y^3 z^2}{x}\right)^A = x^3 \left(\frac{y^4}{z}\right)^{1/3} \implies (x^{-1} y^3 z^2)^A = x^3 y^{4/3} z^{-1/3} $
2) $ \left(\frac{y^2 z^3}{x}\right)^A = x (yz)^{1/2} \implies (x^{-1} y^2 z^3)^A = x^1 y^{1/2} z^{1/2} $

Разделим первое уравнение на второе, как и в пункте а):
$ \left(\frac{x^{-1} y^3 z^2}{x^{-1} y^2 z^3}\right)^A = \frac{x^3 y^{4/3} z^{-1/3}}{x^1 y^{1/2} z^{1/2}} $

Упростим обе части:
Левая часть: $ \left(\frac{y}{z}\right)^A $
Правая часть: $ x^{3-1} y^{4/3 - 1/2} z^{-1/3 - 1/2} = x^2 y^{5/6} z^{-5/6} = x^2 \left(\frac{y}{z}\right)^{5/6} $

Получаем уравнение:
$ \left(\frac{y}{z}\right)^A = x^2 \left(\frac{y}{z}\right)^{5/6} $

В данном виде уравнение содержит три переменные $x, y, z$ и не позволяет однозначно определить значение $A$. Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи, так как подобные задания обычно имеют однозначное решение, основанное на структурной симметрии, как в пункте а). Структура нарушена из-за разных степеней переменной $x$ в аргументах логарифмов.

Предположим, что в первом аргументе степень $x$ должна быть не 3, а 1, то есть аргумент имеет вид $x \sqrt[3]{\frac{y^4}{z}}$. В этом случае первое уравнение примет вид:
1') $ (x^{-1} y^3 z^2)^A = x^1 y^{4/3} z^{-1/3} $

Теперь разделим уравнение 1') на уравнение 2):
$ \left(\frac{y}{z}\right)^A = \frac{x^1 y^{4/3} z^{-1/3}}{x^1 y^{1/2} z^{1/2}} $
$ \left(\frac{y}{z}\right)^A = y^{4/3 - 1/2} z^{-1/3 - 1/2} = y^{5/6} z^{-5/6} = \left(\frac{y}{z}\right)^{5/6} $

При условии $y \neq z$, мы можем приравнять показатели:
$ A = \frac{5}{6} $

Заметим, что если бы мы предположили другую опечатку (например, что во втором аргументе $x$ стоит в степени 3, как и в первом), результат был бы тем же. Это усиливает уверенность в том, что искомое значение $A=5/6$.

Ответ: $ \frac{5}{6} $

20 Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 19 даёт остаток 3, делится нацело на 7.

Пусть искомое натуральное число — это $N$. Согласно условию задачи, число $N$ должно удовлетворять трем условиям, которые можно записать в виде системы сравнений:

1. При делении на 2 даёт остаток 1: $N \equiv 1 \pmod{2}$.
2. При делении на 19 даёт остаток 3: $N \equiv 3 \pmod{19}$.
3. Делится нацело на 7: $N \equiv 0 \pmod{7}$.

Из третьего условия следует, что число $N$ является кратным 7, то есть его можно представить в виде $N = 7k$, где $k$ — некоторое натуральное число (поскольку $N$ — натуральное).

Подставим выражение $N = 7k$ в два других сравнения, чтобы найти, каким должен быть коэффициент $k$.

Рассмотрим первое условие: $N \equiv 1 \pmod{2}$.
$7k \equiv 1 \pmod{2}$.
Так как $7$ при делении на $2$ дает остаток $1$, то $7 \equiv 1 \pmod{2}$. Сравнение принимает вид:
$1 \cdot k \equiv 1 \pmod{2}$, или просто $k \equiv 1 \pmod{2}$.
Это означает, что $k$ — нечётное число.

Рассмотрим второе условие: $N \equiv 3 \pmod{19}$.
$7k \equiv 3 \pmod{19}$.
Чтобы решить это сравнение относительно $k$, нам нужно найти число, обратное к 7 по модулю 19. То есть, найти такое целое число $x$, что $7x \equiv 1 \pmod{19}$. Можно заметить, что $7 \cdot 11 = 77$, а $77 = 4 \cdot 19 + 1$. Таким образом, $7 \cdot 11 \equiv 1 \pmod{19}$, и обратным элементом к 7 является 11.
Умножим обе части сравнения $7k \equiv 3 \pmod{19}$ на 11:
$11 \cdot (7k) \equiv 11 \cdot 3 \pmod{19}$
$1 \cdot k \equiv 33 \pmod{19}$
$k \equiv 33 \pmod{19}$.
Поскольку $33 = 1 \cdot 19 + 14$, то $33 \equiv 14 \pmod{19}$. Отсюда получаем $k \equiv 14 \pmod{19}$.

Итак, мы ищем наименьшее натуральное число $k$, которое одновременно удовлетворяет двум условиям: $k$ является нечётным и при делении на 19 даёт остаток 14.

Числа $k$, дающие остаток 14 при делении на 19, образуют последовательность: $14, 33, 52, 71, \dots$ (получаются по формуле $k = 19m + 14$ для $m = 0, 1, 2, \dots$).
Нам нужно найти первое нечётное число в этой последовательности.

Проверяем по порядку:
- $k = 14$ — чётное, не подходит.
- $k = 33$ — нечётное, подходит.

Следовательно, наименьшее подходящее значение для $k$ — это 33.

Теперь находим искомое число $N$:
$N = 7k = 7 \cdot 33 = 231$.

Для проверки убедимся, что число 231 удовлетворяет всем исходным условиям:
При делении на 2: $231 = 2 \cdot 115 + 1$ (остаток 1).
При делении на 19: $231 = 19 \cdot 12 + 3$ (остаток 3).
При делении на 7: $231 = 7 \cdot 33$ (делится нацело).
Все условия выполнены.

Ответ: 231