Страница 417 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

70 a) $ \frac{x + 56}{9x^2 - 16} + \frac{1}{8 - 6x} = \frac{18}{3x^2 + 4x}; $

б) $ \frac{6}{7x - 21} - \frac{1}{x^2 - 6x + 9} + \frac{1}{x^2 - 9} = 0; $

в) $ \frac{1}{4x - 1} + \frac{2}{1 - 16x^2} + \frac{x - 3}{12x + 3} = 0; $

г) $ \frac{4}{x^2 - 10x + 25} + \frac{1}{25 - x^2} - \frac{1}{x + 5} = 0. $

а)

Дано уравнение: $ \frac{x + 56}{9x^2 - 16} + \frac{1}{8 - 6x} = \frac{18}{3x^2 + 4x} $

1. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$ 9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4) $

$ 8 - 6x = 2(4 - 3x) = -2(3x - 4) $

$ 3x^2 + 4x = x(3x + 4) $

2. Перепишем уравнение с разложенными знаменателями и учтем знак во второй дроби:

$ \frac{x + 56}{(3x - 4)(3x + 4)} - \frac{1}{2(3x - 4)} = \frac{18}{x(3x + 4)} $

3. Определим область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

$ 3x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{4}{3} $

$ 3x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{4}{3} $

$ x \neq 0 $

ОДЗ: $ x \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; 0) \cup (0; \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}; +\infty) $.

4. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $ 2x(3x - 4)(3x + 4) $, чтобы избавиться от дробей:

$ (x + 56) \cdot 2x - 1 \cdot x(3x + 4) = 18 \cdot 2(3x - 4) $

5. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ 2x^2 + 112x - 3x^2 - 4x = 108x - 144 $

$ -x^2 + 108x = 108x - 144 $

$ -x^2 = -144 $

$ x^2 = 144 $

$ x_1 = 12 $, $ x_2 = -12 $

6. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба корня $12$ и $-12$ удовлетворяют условиям ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 12, x_2 = -12$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{6}{7x - 21} - \frac{1}{x^2 - 6x + 9} + \frac{1}{x^2 - 9} = 0 $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ 7x - 21 = 7(x - 3) $

$ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 $

$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $

2. Перепишем уравнение:

$ \frac{6}{7(x - 3)} - \frac{1}{(x - 3)^2} + \frac{1}{(x - 3)(x + 3)} = 0 $

3. Определим ОДЗ:

$ x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 $

$ x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 $

ОДЗ: $ x \neq \pm 3 $.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $ 7(x - 3)^2(x + 3) $:

$ 6(x - 3)(x + 3) - 1 \cdot 7(x + 3) + 1 \cdot 7(x - 3) = 0 $

5. Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 6(x^2 - 9) - 7x - 21 + 7x - 21 = 0 $

$ 6x^2 - 54 - 42 = 0 $

$ 6x^2 - 96 = 0 $

$ 6x^2 = 96 $

$ x^2 = 16 $

$ x_1 = 4 $, $ x_2 = -4 $

6. Оба корня $4$ и $-4$ входят в ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -4$.

в)

Дано уравнение: $ \frac{1}{4x - 1} + \frac{2}{1 - 16x^2} + \frac{x - 3}{12x + 3} = 0 $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ 4x - 1 $

$ 1 - 16x^2 = (1 - 4x)(1 + 4x) = -(4x - 1)(4x + 1) $

$ 12x + 3 = 3(4x + 1) $

2. Перепишем уравнение:

$ \frac{1}{4x - 1} - \frac{2}{(4x - 1)(4x + 1)} + \frac{x - 3}{3(4x + 1)} = 0 $

3. Определим ОДЗ:

$ 4x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{4} $

$ 4x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{4} $

ОДЗ: $ x \neq \pm \frac{1}{4} $.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $ 3(4x - 1)(4x + 1) $:

$ 1 \cdot 3(4x + 1) - 2 \cdot 3 + (x - 3)(4x - 1) = 0 $

5. Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 12x + 3 - 6 + 4x^2 - x - 12x + 3 = 0 $

$ 4x^2 - x = 0 $

$ x(4x - 1) = 0 $

$ x_1 = 0 $ или $ 4x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4} $

6. Проверим корни. Корень $ x_1 = 0 $ входит в ОДЗ. Корень $ x_2 = \frac{1}{4} $ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатели $4x-1$ и $1-16x^2$ обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $x = 0$.

г)

Дано уравнение: $ \frac{4}{x^2 - 10x + 25} + \frac{1}{25 - x^2} - \frac{1}{x + 5} = 0 $

1. Разложим знаменатели на множители:

$ x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 $

$ 25 - x^2 = (5 - x)(5 + x) = -(x - 5)(x + 5) $

$ x + 5 $

2. Перепишем уравнение:

$ \frac{4}{(x - 5)^2} - \frac{1}{(x - 5)(x + 5)} - \frac{1}{x + 5} = 0 $

3. Определим ОДЗ:

$ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $

$ x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 $

ОДЗ: $ x \neq \pm 5 $.

4. Умножим обе части на общий знаменатель $ (x - 5)^2(x + 5) $:

$ 4(x + 5) - 1(x - 5) - 1(x - 5)^2 = 0 $

5. Раскроем скобки и решим уравнение:

$ 4x + 20 - x + 5 - (x^2 - 10x + 25) = 0 $

$ 3x + 25 - x^2 + 10x - 25 = 0 $

$ -x^2 + 13x = 0 $

$ -x(x - 13) = 0 $

$ x_1 = 0 $, $ x_2 = 13 $

6. Оба корня $0$ и $13$ входят в ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 13$.

71 a) $1 + \frac{3}{x^2 - 9x + 18} = \frac{1}{x - 6};$

б) $1 + \frac{6}{x^2 - 8x + 7} = \frac{1}{x - 7};$

В) $1 + \frac{10}{x^2 - 8x + 15} = \frac{5}{x - 5};$

Г) $1 + \frac{6}{x^2 - 6x + 8} = \frac{3}{x - 4}.`$

a) Исходное уравнение: $1 + \frac{3}{x^2 - 9x + 18} = \frac{1}{x-6}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:
$x^2 - 9x + 18 \neq 0$ и $x - 6 \neq 0$.
Из второго условия следует, что $x \neq 6$.
Для первого условия разложим квадратный трехчлен $x^2 - 9x + 18$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 18 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение 18, следовательно, корни это $x_1 = 3$ и $x_2 = 6$.
Тогда $x^2 - 9x + 18 = (x-3)(x-6)$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 6$.
Перепишем уравнение, подставив разложенный знаменатель:
$1 + \frac{3}{(x-3)(x-6)} = \frac{1}{x-6}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x-6)$, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x \neq 3$ и $x \neq 6$:
$1 \cdot (x-3)(x-6) + 3 = 1 \cdot (x-3)$.
Раскроем скобки и упростим:
$x^2 - 6x - 3x + 18 + 3 = x - 3$
$x^2 - 9x + 21 = x - 3$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 9x - x + 21 + 3 = 0$
$x^2 - 10x + 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$.
Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=4$ удовлетворяет условиям ($4 \neq 3$ и $4 \neq 6$). Корень $x=6$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.
Ответ: 4

б) Исходное уравнение: $1 + \frac{6}{x^2 - 8x + 7} = \frac{1}{x-7}$.
ОДЗ: $x^2 - 8x + 7 \neq 0$ и $x - 7 \neq 0$. Из второго условия $x \neq 7$.
Разложим на множители $x^2 - 8x + 7$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ по теореме Виета: $x_1=1, x_2=7$.
Значит, $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Подставим разложение в уравнение:
$1 + \frac{6}{(x-1)(x-7)} = \frac{1}{x-7}$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-1)(x-7)$:
$(x-1)(x-7) + 6 = 1 \cdot (x-1)$.
$x^2 - 7x - x + 7 + 6 = x - 1$
$x^2 - 8x + 13 = x - 1$
$x^2 - 9x + 14 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 7$).
Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x=7$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Ответ: 2

в) Исходное уравнение: $1 + \frac{10}{x^2 - 8x + 15} = \frac{5}{x-5}$.
ОДЗ: $x^2 - 8x + 15 \neq 0$ и $x - 5 \neq 0$. Из второго условия $x \neq 5$.
Разложим на множители $x^2 - 8x + 15$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$ по теореме Виета: $x_1=3, x_2=5$.
Значит, $x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5)$.
ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq 5$.
Подставим разложение в уравнение:
$1 + \frac{10}{(x-3)(x-5)} = \frac{5}{x-5}$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-3)(x-5)$:
$1 \cdot (x-3)(x-5) + 10 = 5 \cdot (x-3)$.
$x^2 - 5x - 3x + 15 + 10 = 5x - 15$
$x^2 - 8x + 25 = 5x - 15$
$x^2 - 13x + 40 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 8$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 3, x \neq 5$).
Корень $x=5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 8

г) Исходное уравнение: $1 + \frac{6}{x^2 - 6x + 8} = \frac{3}{x-4}$.
ОДЗ: $x^2 - 6x + 8 \neq 0$ и $x - 4 \neq 0$. Из второго условия $x \neq 4$.
Разложим на множители $x^2 - 6x + 8$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1=2, x_2=4$.
Значит, $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.
ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 4$.
Подставим разложение в уравнение:
$1 + \frac{6}{(x-2)(x-4)} = \frac{3}{x-4}$.
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-2)(x-4)$:
$1 \cdot (x-2)(x-4) + 6 = 3 \cdot (x-2)$.
$x^2 - 4x - 2x + 8 + 6 = 3x - 6$
$x^2 - 6x + 14 = 3x - 6$
$x^2 - 9x + 20 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \neq 2, x \neq 4$).
Корень $x=4$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 5

72 a) $\frac{1}{x-5} = \frac{11}{x^2 - 20x + 75}$;

б) $\frac{1}{x-6} = \frac{13}{x^2 - 20x + 84}$;

В) $\frac{1}{x-7} = \frac{19}{x^2 - 20x + 91}$;

Г) $\frac{1}{x-8} = \frac{17}{x^2 - 20x + 96}$.

а)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-5} = \frac{11}{x^2 - 20x + 75} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

1. $ x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 $.

2. $ x^2 - 20x + 75 \neq 0 $. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $ x^2 - 20x + 75 = 0 $.
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 75 = 400 - 300 = 100 = 10^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 10}{2} = 15 $ и $ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 10}{2} = 5 $.
Следовательно, $ x \neq 5 $ и $ x \neq 15 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{5, 15\} $.

Разложим знаменатель правой части на множители: $ x^2 - 20x + 75 = (x-5)(x-15) $.
Перепишем уравнение:
$ \frac{1}{x-5} = \frac{11}{(x-5)(x-15)} $.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (x-5)(x-15) $, который не равен нулю в ОДЗ.
$ 1 \cdot (x-15) = 11 $
$ x - 15 = 11 $
$ x = 11 + 15 $
$ x = 26 $.

Полученный корень $ x = 26 $ удовлетворяет ОДЗ, так как $ 26 \neq 5 $ и $ 26 \neq 15 $.

Ответ: $ 26 $.

б)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-6} = \frac{13}{x^2 - 20x + 84} $.

Найдем ОДЗ:
1. $ x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6 $.

2. $ x^2 - 20x + 84 \neq 0 $. Решим уравнение $ x^2 - 20x + 84 = 0 $.
$ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 400 - 336 = 64 = 8^2 $.
$ x_1 = \frac{20 + 8}{2} = 14 $ и $ x_2 = \frac{20 - 8}{2} = 6 $.
Следовательно, $ x \neq 6 $ и $ x \neq 14 $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{6, 14\} $.

Разложим знаменатель $ x^2 - 20x + 84 = (x-6)(x-14) $ и подставим в уравнение:
$ \frac{1}{x-6} = \frac{13}{(x-6)(x-14)} $.

В области допустимых значений $ x-6 \neq 0 $, поэтому можно умножить обе части на $ (x-6) $:
$ 1 = \frac{13}{x-14} $
$ x - 14 = 13 $
$ x = 13 + 14 $
$ x = 27 $.

Корень $ x = 27 $ принадлежит ОДЗ ($ 27 \neq 6 $ и $ 27 \neq 14 $).

Ответ: $ 27 $.

в)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-7} = \frac{19}{x^2 - 20x + 91} $.

Найдем ОДЗ:
1. $ x - 7 \neq 0 \Rightarrow x \neq 7 $.

2. $ x^2 - 20x + 91 \neq 0 $. Решим уравнение $ x^2 - 20x + 91 = 0 $.
$ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36 = 6^2 $.
$ x_1 = \frac{20 + 6}{2} = 13 $ и $ x_2 = \frac{20 - 6}{2} = 7 $.
Следовательно, $ x \neq 7 $ и $ x \neq 13 $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{7, 13\} $.

Разложим знаменатель $ x^2 - 20x + 91 = (x-7)(x-13) $ и подставим в уравнение:
$ \frac{1}{x-7} = \frac{19}{(x-7)(x-13)} $.

Умножим обе части на $ (x-7) $, так как в ОДЗ $ x \neq 7 $:
$ 1 = \frac{19}{x-13} $
$ x - 13 = 19 $
$ x = 19 + 13 $
$ x = 32 $.

Корень $ x = 32 $ принадлежит ОДЗ ($ 32 \neq 7 $ и $ 32 \neq 13 $).

Ответ: $ 32 $.

г)

Решим уравнение $ \frac{1}{x-8} = \frac{17}{x^2 - 20x + 96} $.

Найдем ОДЗ:
1. $ x - 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq 8 $.

2. $ x^2 - 20x + 96 \neq 0 $. Решим уравнение $ x^2 - 20x + 96 = 0 $.
$ D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 400 - 384 = 16 = 4^2 $.
$ x_1 = \frac{20 + 4}{2} = 12 $ и $ x_2 = \frac{20 - 4}{2} = 8 $.
Следовательно, $ x \neq 8 $ и $ x \neq 12 $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{8, 12\} $.

Разложим знаменатель $ x^2 - 20x + 96 = (x-8)(x-12) $ и подставим в уравнение:
$ \frac{1}{x-8} = \frac{17}{(x-8)(x-12)} $.

Умножим обе части на $ (x-8) $, так как в ОДЗ $ x \neq 8 $:
$ 1 = \frac{17}{x-12} $
$ x - 12 = 17 $
$ x = 17 + 12 $
$ x = 29 $.

Корень $ x = 29 $ принадлежит ОДЗ ($ 29 \neq 8 $ и $ 29 \neq 12 $).

Ответ: $ 29 $.

73 $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{18x + 7}{x^3 - 1}.$

73. Для решения уравнения найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в уравнении не должны быть равны нулю:
1. $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. $x^2 + x + 1 \neq 0$. Это верно для всех действительных $x$, так как дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$.
3. $x^3 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x^2+x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Теперь преобразуем уравнение. Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель. Используем формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$
$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей в уравнении — это $(x-1)(x+1)(x^2+x+1)$.
Умножим обе части уравнения на НОЗ, при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ:
$30(x^2+x+1) - 13(x-1)(x+1) = (18x+7)(x+1)$.

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:
$30(x^2+x+1) - 13(x^2-1) = 18x^2 + 18x + 7x + 7$
$30x^2 + 30x + 30 - 13x^2 + 13 = 18x^2 + 25x + 7$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$17x^2 + 30x + 43 = 18x^2 + 25x + 7$.

Перенесем все члены уравнения в правую сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$0 = (18x^2 - 17x^2) + (25x - 30x) + (7 - 43)$
$0 = x^2 - 5x - 36$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней должна быть равна $-(-5)=5$, а их произведение должно быть равно $-36$.
Подбором находим корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$.
Проверка по теореме Виета: $9 + (-4) = 5$ и $9 \cdot (-4) = -36$. Корни найдены верно.
Альтернативно, используем формулу для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}$.
Отсюда, $x_1 = \frac{5+13}{2} = \frac{18}{2} = 9$ и $x_2 = \frac{5-13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Найденные корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$ принадлежат области допустимых значений, так как они не равны $1$ или $-1$. Следовательно, оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $-4; 9$.

74 a) $ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x-1} = \frac{x-10}{x-9} + \frac{x}{x+1} $

б) $ \frac{x+1}{x} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x+5}{x+1} + \frac{x-7}{x-6} $

а) Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x-1} = \frac{x-10}{x-9} + \frac{x}{x+1} $
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x \neq 0$; $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$; $x-9 \neq 0 \implies x \neq 9$; $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1, 9\}$.
Преобразуем каждую дробь, выделив целую часть:
$ \frac{x-1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{x} $
$ \frac{x-2}{x-1} = \frac{x-1-1}{x-1} = 1 - \frac{1}{x-1} $
$ \frac{x-10}{x-9} = \frac{x-9-1}{x-9} = 1 - \frac{1}{x-9} $
$ \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} $
Подставим преобразованные дроби в исходное уравнение:
$ (1 - \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x-1}) = (1 - \frac{1}{x-9}) + (1 - \frac{1}{x+1}) $
$ 2 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = 2 - \frac{1}{x-9} - \frac{1}{x+1} $
Вычтем 2 из обеих частей и умножим на -1:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x-9} + \frac{1}{x+1} $
Приведем дроби к общему знаменателю в каждой части уравнения:
$ \frac{x-1+x}{x(x-1)} = \frac{x+1+x-9}{(x-9)(x+1)} $
$ \frac{2x-1}{x^2-x} = \frac{2x-8}{x^2-8x-9} $
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$ (2x-1)(x^2-8x-9) = (2x-8)(x^2-x) $
Раскроем скобки:
$ 2x^3 - 16x^2 - 18x - x^2 + 8x + 9 = 2x^3 - 2x^2 - 8x^2 + 8x $
$ 2x^3 - 17x^2 - 10x + 9 = 2x^3 - 10x^2 + 8x $
Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:
$ 0 = (2x^3 - 2x^3) + (-10x^2 + 17x^2) + (8x + 10x) - 9 $
$ 7x^2 + 18x - 9 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-9) = 324 + 252 = 576 = 24^2 $
Найдем корни:
$ x_1 = \frac{-18 - 24}{2 \cdot 7} = \frac{-42}{14} = -3 $
$ x_2 = \frac{-18 + 24}{2 \cdot 7} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = -3$, $x_2 = \frac{3}{7}$.

б) Исходное уравнение: $ \frac{x+1}{x} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x+5}{x+1} + \frac{x-7}{x-6} $
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x \neq 0$; $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$; $x-6 \neq 0 \implies x \neq 6$.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 2, 6\}$.
Преобразуем каждую дробь, выделив целую часть:
$ \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} $
$ \frac{x-1}{x-2} = \frac{x-2+1}{x-2} = 1 + \frac{1}{x-2} $
$ \frac{x+5}{x+1} = \frac{x+1+4}{x+1} = 1 + \frac{4}{x+1} $
$ \frac{x-7}{x-6} = \frac{x-6-1}{x-6} = 1 - \frac{1}{x-6} $
Подставим преобразованные дроби в исходное уравнение:
$ (1 + \frac{1}{x}) + (1 + \frac{1}{x-2}) = (1 + \frac{4}{x+1}) + (1 - \frac{1}{x-6}) $
$ 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = 2 + \frac{4}{x+1} - \frac{1}{x-6} $
Вычтем 2 из обеих частей:
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2} = \frac{4}{x+1} - \frac{1}{x-6} $
Приведем дроби к общему знаменателю в каждой части уравнения:
$ \frac{x-2+x}{x(x-2)} = \frac{4(x-6) - (x+1)}{(x+1)(x-6)} $
$ \frac{2x-2}{x^2-2x} = \frac{4x - 24 - x - 1}{x^2-5x-6} $
$ \frac{2x-2}{x^2-2x} = \frac{3x-25}{x^2-5x-6} $
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$ (2x-2)(x^2-5x-6) = (3x-25)(x^2-2x) $
Раскроем скобки:
$ 2x^3 - 10x^2 - 12x - 2x^2 + 10x + 12 = 3x^3 - 6x^2 - 25x^2 + 50x $
$ 2x^3 - 12x^2 - 2x + 12 = 3x^3 - 31x^2 + 50x $
Перенесем все члены в правую часть:
$ 0 = (3x^3 - 2x^3) + (-31x^2 + 12x^2) + (50x + 2x) - 12 $
$ x^3 - 19x^2 + 52x - 12 = 0 $
Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-12): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.
Подставим $x=3$: $3^3 - 19 \cdot 3^2 + 52 \cdot 3 - 12 = 27 - 19 \cdot 9 + 156 - 12 = 27 - 171 + 156 - 12 = 183 - 183 = 0$.
Значит, $x=3$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 - 19x^2 + 52x - 12$ на $(x-3)$:
$ (x^3 - 19x^2 + 52x - 12) \div (x-3) = x^2 - 16x + 4 $
Уравнение принимает вид:
$ (x-3)(x^2 - 16x + 4) = 0 $
Один корень $x_1 = 3$. Найдем остальные корни, решив квадратное уравнение $x^2 - 16x + 4 = 0$.
$ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 256 - 16 = 240 $
$ \sqrt{D} = \sqrt{240} = \sqrt{16 \cdot 15} = 4\sqrt{15} $
$ x_{2,3} = \frac{16 \pm 4\sqrt{15}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{15} $
Получили три корня: $x_1 = 3$, $x_2 = 8 + 2\sqrt{15}$, $x_3 = 8 - 2\sqrt{15}$.
Все три корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 8 + 2\sqrt{15}$, $x_3 = 8 - 2\sqrt{15}$.

75 a) $\frac{1}{(3x + 5)(x - 1)} + \frac{7}{(x + 7)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1};$

б) $\frac{4}{(4x + 3)(x - 1)} + \frac{17}{(2x + 5)(x - 1)} = \frac{3}{x - 1};$

в) $\frac{3}{(2x + 7)(x - 1)} + \frac{2}{(4x - 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1};$

г) $\frac{3}{(4x + 5)(x - 1)} + \frac{5}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{2}{x - 1}.$

а) $ \frac{1}{(3x + 5)(x - 1)} + \frac{7}{(x + 7)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому:
$ 3x + 5 \neq 0 \implies x \neq -\frac{5}{3} $
$ x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7 $
$ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $
Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-\infty; -7) \cup (-7; -\frac{5}{3}) \cup (-\frac{5}{3}; 1) \cup (1; +\infty) $.

Умножим обе части уравнения на общий множитель $ (x - 1) $, так как из ОДЗ известно, что $ x \neq 1 $:
$ \frac{1}{3x + 5} + \frac{7}{x + 7} = 1 $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (3x + 5)(x + 7) $:
$ \frac{1 \cdot (x + 7) + 7 \cdot (3x + 5)}{(3x + 5)(x + 7)} = 1 $
$ x + 7 + 21x + 35 = (3x + 5)(x + 7) $

Раскроем скобки и упростим выражение:
$ 22x + 42 = 3x^2 + 21x + 5x + 35 $
$ 22x + 42 = 3x^2 + 26x + 35 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ 3x^2 + 26x - 22x + 35 - 42 = 0 $
$ 3x^2 + 4x - 7 = 0 $

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100 = 10^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3} $

Проверим корни на соответствие ОДЗ.
$ x_1 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 1 $), следовательно, это посторонний корень.
$ x_2 = -\frac{7}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ -\frac{7}{3} $

б) $ \frac{4}{(4x + 3)(x - 1)} + \frac{17}{(2x + 5)(x - 1)} = \frac{3}{x - 1} $

ОДЗ: $ 4x + 3 \neq 0 \implies x \neq -\frac{3}{4} $; $ 2x + 5 \neq 0 \implies x \neq -\frac{5}{2} $; $ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Умножим обе части уравнения на $ (x - 1) $, так как $ x \neq 1 $:
$ \frac{4}{4x + 3} + \frac{17}{2x + 5} = 3 $

Приведем к общему знаменателю $ (4x + 3)(2x + 5) $:
$ \frac{4(2x + 5) + 17(4x + 3)}{(4x + 3)(2x + 5)} = 3 $
$ 4(2x + 5) + 17(4x + 3) = 3(4x + 3)(2x + 5) $

Раскроем скобки:
$ 8x + 20 + 68x + 51 = 3(8x^2 + 20x + 6x + 15) $
$ 76x + 71 = 3(8x^2 + 26x + 15) $
$ 76x + 71 = 24x^2 + 78x + 45 $

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
$ 24x^2 + 78x - 76x + 45 - 71 = 0 $
$ 24x^2 + 2x - 26 = 0 $
Разделим уравнение на 2: $ 12x^2 + x - 13 = 0 $

Решим уравнение:
$ D = 1^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-13) = 1 + 624 = 625 = 25^2 $
$ x_1 = \frac{-1 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{24}{24} = 1 $
$ x_2 = \frac{-1 - 25}{2 \cdot 12} = \frac{-26}{24} = -\frac{13}{12} $

$ x_1 = 1 $ — посторонний корень (не входит в ОДЗ).
$ x_2 = -\frac{13}{12} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ -\frac{13}{12} $

в) $ \frac{3}{(2x + 7)(x - 1)} + \frac{2}{(4x - 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1} $

ОДЗ: $ 2x + 7 \neq 0 \implies x \neq -\frac{7}{2} $; $ 4x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{4} $; $ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Умножим обе части на $ (x - 1) $:
$ \frac{3}{2x + 7} + \frac{2}{4x - 1} = 1 $

Приведем к общему знаменателю $ (2x + 7)(4x - 1) $:
$ 3(4x - 1) + 2(2x + 7) = (2x + 7)(4x - 1) $

Раскроем скобки и упростим:
$ 12x - 3 + 4x + 14 = 8x^2 - 2x + 28x - 7 $
$ 16x + 11 = 8x^2 + 26x - 7 $

Приведем к квадратному уравнению:
$ 8x^2 + 26x - 16x - 7 - 11 = 0 $
$ 8x^2 + 10x - 18 = 0 $
Разделим уравнение на 2: $ 4x^2 + 5x - 9 = 0 $

Решим уравнение:
$ D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $
$ x_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 $
$ x_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4} $

$ x_1 = 1 $ — посторонний корень (не входит в ОДЗ).
$ x_2 = -\frac{9}{4} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ -\frac{9}{4} $

г) $ \frac{3}{(4x + 5)(x - 1)} + \frac{5}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{2}{x - 1} $

ОДЗ: $ 4x + 5 \neq 0 \implies x \neq -\frac{5}{4} $; $ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 $; $ x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.

Умножим обе части на $ (x - 1) $:
$ \frac{3}{4x + 5} + \frac{5}{x + 2} = 2 $

Приведем к общему знаменателю $ (4x + 5)(x + 2) $:
$ 3(x + 2) + 5(4x + 5) = 2(4x + 5)(x + 2) $

Раскроем скобки и упростим:
$ 3x + 6 + 20x + 25 = 2(4x^2 + 8x + 5x + 10) $
$ 23x + 31 = 2(4x^2 + 13x + 10) $
$ 23x + 31 = 8x^2 + 26x + 20 $

Приведем к квадратному уравнению:
$ 8x^2 + 26x - 23x + 20 - 31 = 0 $
$ 8x^2 + 3x - 11 = 0 $

Решим уравнение:
$ D = 3^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-11) = 9 + 352 = 361 = 19^2 $
$ x_1 = \frac{-3 + 19}{2 \cdot 8} = \frac{16}{16} = 1 $
$ x_2 = \frac{-3 - 19}{2 \cdot 8} = \frac{-22}{16} = -\frac{11}{8} $

$ x_1 = 1 $ — посторонний корень (не входит в ОДЗ).
$ x_2 = -\frac{11}{8} $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ -\frac{11}{8} $

76 a) $(10x - 5)^2 (10x - 4)(10x - 6) = 72;$

б) $(3x + 5) \left(\frac{1}{2} x + 1\right)^2 (3x + 7) = \frac{1}{3}.$

a) $(10x - 5)^2 (10x - 4)(10x - 6) = 72;

Заметим, что выражения в скобках похожи. Центром для выражений $10x - 4$ и $10x - 6$ является $10x - 5$. Введем замену переменной, чтобы упростить уравнение.

Пусть $y = 10x - 5$. Тогда:

$10x - 4 = (10x - 5) + 1 = y + 1$

$10x - 6 = (10x - 5) - 1 = y - 1$

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 (y + 1)(y - 1) = 72$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$y^2 (y^2 - 1) = 72$

Раскроем скобки:

$y^4 - y^2 = 72$

$y^4 - y^2 - 72 = 0$

Получили биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$. Так как $y^2 \ge 0$, то и $z \ge 0$.

$z^2 - z - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 17}{2}$

$z_1 = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$z_2 = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Корень $z_2 = -8$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Вернемся к замене $z = y^2$:

$y^2 = 9$

Отсюда $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y = 10x - 5$.

1) Если $y = 3$:

$10x - 5 = 3$

$10x = 8$

$x = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$

2) Если $y = -3$:

$10x - 5 = -3$

$10x = 2$

$x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0.2$

Ответ: $x = 0.2; x = 0.8$

б) $(3x + 5)(\frac{1}{2}x + 1)^2 (3x + 7) = \frac{1}{3}$.

Преобразуем выражение в средней скобке, чтобы оно стало похоже на остальные множители. Вынесем $\frac{1}{6}$ за скобки:

$\frac{1}{2}x + 1 = \frac{1}{6}(3x + 6)$

Тогда квадрат этого выражения равен:

$(\frac{1}{2}x + 1)^2 = \left(\frac{1}{6}(3x + 6)\right)^2 = \frac{1}{36}(3x + 6)^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$(3x + 5) \cdot \frac{1}{36}(3x + 6)^2 \cdot (3x + 7) = \frac{1}{3}$

Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дроби:

$(3x + 5)(3x + 6)^2 (3x + 7) = \frac{36}{3}$

$(3x + 5)(3x + 6)^2 (3x + 7) = 12$

Видим, что выражения в скобках последовательны. Введем замену. Пусть $y = 3x + 6$. Тогда:

$3x + 5 = (3x + 6) - 1 = y - 1$

$3x + 7 = (3x + 6) + 1 = y + 1$

Подставим новую переменную в преобразованное уравнение:

$(y - 1)y^2 (y + 1) = 12$

Используем формулу разности квадратов:

$(y^2 - 1)y^2 = 12$

$y^4 - y^2 = 12$

$y^4 - y^2 - 12 = 0$

Снова получили биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = y^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 - z - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$z_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{2}$

$z_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$z_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корень $z_2 = -3$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$.

Вернемся к замене $z = y^2$:

$y^2 = 4$

Отсюда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y = 3x + 6$.

1) Если $y = 2$:

$3x + 6 = 2$

$3x = -4$

$x = -\frac{4}{3}$

2) Если $y = -2$:

$3x + 6 = -2$

$3x = -8$

$x = -\frac{8}{3}$

Ответ: $x = -\frac{8}{3}; x = -\frac{4}{3}$

Решите уравнение (77–91):

77 a) $x = \sqrt{3x + 40}$;

б) $x = \sqrt{10x + 24}$;

в) $x = \sqrt{5x + 36}$;

г) $x = \sqrt{3x + 28}$.

а) Дано иррациональное уравнение $x = \sqrt{3x + 40}$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как левая часть уравнения $x$ равна значению арифметического квадратного корня, то $x$ должен быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Выражение под знаком корня также должно быть неотрицательным: $3x + 40 \ge 0$, что означает $x \ge -40/3$.
Объединяя два условия ($x \ge 0$ и $x \ge -40/3$), получаем итоговое ограничение: $x \ge 0$.
Теперь решим уравнение, возведя обе его части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$x^2 = (\sqrt{3x + 40})^2$
$x^2 = 3x + 40$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 40 = 0$
Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 0$.
Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию, так как $8 \ge 0$.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < 0$, и является посторонним корнем.
Проверка подстановкой: $8 = \sqrt{3 \cdot 8 + 40} \implies 8 = \sqrt{24 + 40} \implies 8 = \sqrt{64}$, что верно.
Ответ: 8.

б) Дано иррациональное уравнение $x = \sqrt{10x + 24}$.
ОДЗ: $x \ge 0$ (так как $x$ равен значению корня) и $10x+24 \ge 0$. Условие $x \ge 0$ является более строгим.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{10x + 24})^2$
$x^2 = 10x + 24$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 10x - 24 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 12$ подходит, так как $12 \ge 0$.
Корень $x_2 = -2$ не подходит, так как $-2 < 0$.
Проверка подстановкой: $12 = \sqrt{10 \cdot 12 + 24} \implies 12 = \sqrt{120 + 24} \implies 12 = \sqrt{144}$, что верно.
Ответ: 12.

в) Дано иррациональное уравнение $x = \sqrt{5x + 36}$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{5x + 36})^2$
$x^2 = 5x + 36$
Приведем уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 5x - 36 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Сравним корни с ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию ($9 \ge 0$).
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию ($-4 < 0$), следовательно, это посторонний корень.
Проверка подстановкой: $9 = \sqrt{5 \cdot 9 + 36} \implies 9 = \sqrt{45 + 36} \implies 9 = \sqrt{81}$, что верно.
Ответ: 9.

г) Дано иррациональное уравнение $x = \sqrt{3x + 28}$.
Область допустимых значений определяется условием $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{3x + 28})^2$
$x^2 = 3x + 28$
Получаем квадратное уравнение:
$x^2 - 3x - 28 = 0$
Вычислим дискриминант для нахождения корней:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Проверим корни по условию $x \ge 0$.
Корень $x_1 = 7$ подходит ($7 \ge 0$).
Корень $x_2 = -4$ не подходит ($-4 < 0$) и является посторонним.
Проверка подстановкой: $7 = \sqrt{3 \cdot 7 + 28} \implies 7 = \sqrt{21 + 28} \implies 7 = \sqrt{49}$, что верно.
Ответ: 7.