Страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

104 a) $ \sin 4x + \sqrt{3}\sin 3x + \sin 2x = 0 $

б) $ \cos 3x + \sin 5x = \sin x. $

а) $\sin 4x + \sqrt{3}\sin 3x + \sin 2x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\sin 4x + \sin 2x) + \sqrt{3}\sin 3x = 0$

$2\sin\frac{4x+2x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2} + \sqrt{3}\sin 3x = 0$

$2\sin 3x \cos x + \sqrt{3}\sin 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки:

$\sin 3x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin 3x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0$

$2\cos x = -\sqrt{3}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решение этого уравнения:

$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm (\pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 3x + \sin 5x = \sin x$

Перенесем $\sin x$ в левую часть уравнения, чтобы сгруппировать его с $\sin 5x$:

$\cos 3x + \sin 5x - \sin x = 0$

Применим к разности синусов формулу преобразования разности в произведение: $\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$\cos 3x + 2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2} = 0$

$\cos 3x + 2\sin 2x \cos 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 3x$ за скобки:

$\cos 3x (1 + 2\sin 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\cos 3x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $1 + 2\sin 2x = 0$

$2\sin 2x = -1$

$\sin 2x = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

105 a) $\sin 2x + \operatorname{tg} x = 2$;

b) $\operatorname{ctg}^2 x + \operatorname{tg}^2 x = 16 \cos 2x$.

б) $\sin x + \sin 3x = 4 \cos^3 x$;

a) $ \sin 2x + \tg x = 2 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс определен, когда $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $ для $ k \in \mathbb{Z} $.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла через тангенс: $ \sin 2x = \frac{2 \tg x}{1 + \tg^2 x} $.

Сделаем замену $ t = \tg x $. Уравнение примет вид:$ \frac{2t}{1 + t^2} + t = 2 $

Умножим обе части уравнения на $ 1 + t^2 $ (это выражение всегда положительно):$ 2t + t(1 + t^2) = 2(1 + t^2) $$ 2t + t + t^3 = 2 + 2t^2 $$ t^3 - 2t^2 + 3t - 2 = 0 $

Это кубическое уравнение относительно $t$. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-2), то есть $ \pm 1, \pm 2 $.Проверим $ t=1 $: $ 1^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0 $.Значит, $ t=1 $ является корнем. Разделим многочлен $ t^3 - 2t^2 + 3t - 2 $ на $ (t-1) $:$ (t^3 - 2t^2 + 3t - 2) \div (t-1) = t^2 - t + 2 $Таким образом, уравнение можно записать в виде:$ (t-1)(t^2 - t + 2) = 0 $

Рассмотрим квадратное уравнение $ t^2 - t + 2 = 0 $. Его дискриминант $ D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 $.Так как $ D < 0 $, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственным действительным решением для $t$ является $t=1$.

Сделаем обратную замену:$ \tg x = 1 $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $ \cos(\frac{\pi}{4} + \pi n) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0 $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin x + \sin 3x = 4 \cos^3 x $

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $, так как все функции определены для любых действительных $x$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы синусов:$ \sin x + \sin 3x = 2 \sin\frac{x+3x}{2} \cos\frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x $

Теперь используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:$ 2 (2 \sin x \cos x) \cos x = 4 \sin x \cos^2 x $

Подставим это в исходное уравнение:$ 4 \sin x \cos^2 x = 4 \cos^3 x $$ 4 \sin x \cos^2 x - 4 \cos^3 x = 0 $$ 4 \cos^2 x (\sin x - \cos x) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:

1) $ \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin x - \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x $Если $ \cos x = 0 $, то из этого уравнения следует, что и $ \sin x = 0 $, что невозможно. Значит, $ \cos x \neq 0 $. Можем разделить обе части на $ \cos x $:$ \frac{\sin x}{\cos x} = 1 $$ \tg x = 1 $$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

в) $ \ctg^2 x + \tg^2 x = 16 \cos 2x $

ОДЗ: $ \tg x $ и $ \ctg x $ должны быть определены, поэтому $ \sin x \neq 0 $ и $ \cos x \neq 0 $.Это эквивалентно условию $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \neq 0 $, то есть $ 2x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Преобразуем левую часть уравнения. Используем тождество $ a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab $:$ \ctg^2 x + \tg^2 x = (\ctg x + \tg x)^2 - 2 \ctg x \tg x $Поскольку $ \ctg x \tg x = 1 $, а $ \ctg x + \tg x = \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{2}{\sin 2x} $, левая часть равна:$ \left(\frac{2}{\sin 2x}\right)^2 - 2 = \frac{4}{\sin^2 2x} - 2 $

Подставляем это в исходное уравнение:$ \frac{4}{\sin^2 2x} - 2 = 16 \cos 2x $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x $ и делаем замену $ y = \cos 2x $:$ \frac{4}{1 - y^2} - 2 = 16y $

Решим это уравнение относительно $y$. ОДЗ $ x \neq \frac{\pi k}{2} $ означает $ \sin 2x \neq 0 $, так что $ \sin^2 2x \neq 0 \implies 1-y^2 \neq 0 \implies y \neq \pm 1 $.$ 4 - 2(1 - y^2) = 16y(1 - y^2) $$ 4 - 2 + 2y^2 = 16y - 16y^3 $$ 2 + 2y^2 = 16y - 16y^3 $$ 16y^3 + 2y^2 - 16y + 2 = 0 $Разделим на 2:$ 8y^3 + y^2 - 8y + 1 = 0 $

Также заметим, что левая часть исходного уравнения $ \ctg^2 x + \tg^2 x $ всегда положительна, следовательно, правая часть $ 16 \cos 2x $ тоже должна быть положительной, откуда $ \cos 2x > 0 $. Таким образом, $ y > 0 $. Более того, по неравенству о средних $ \ctg^2 x + \tg^2 x \ge 2\sqrt{\ctg^2 x \cdot \tg^2 x} = 2 $. Значит, $ 16 \cos 2x \ge 2 \implies \cos 2x \ge \frac{1}{8} $. Итак, мы ищем корни кубического уравнения на интервале $ y \in [\frac{1}{8}, 1) $.

Данное кубическое уравнение не имеет простых рациональных корней. Обозначим $ f(y) = 8y^3 + y^2 - 8y + 1 $. Проверим значения на концах интересующего нас отрезка и в промежуточной точке:$ f(\frac{1}{8}) = 8(\frac{1}{512}) + (\frac{1}{64}) - 8(\frac{1}{8}) + 1 = \frac{1}{64} + \frac{1}{64} - 1 + 1 = \frac{2}{64} = \frac{1}{32} > 0 $.$ f(1) = 8 + 1 - 8 + 1 = 2 > 0 $.$ f(0.5) = 8(\frac{1}{8}) + (\frac{1}{4}) - 8(\frac{1}{2}) + 1 = 1 + \frac{1}{4} - 4 + 1 = -\frac{7}{4} < 0 $.

Поскольку функция $f(y)$ непрерывна, она имеет один корень $y_1$ на интервале $(\frac{1}{8}, \frac{1}{2})$ и другой корень $y_2$ на интервале $(\frac{1}{2}, 1)$. Третий корень уравнения находится вне отрезка $ [-1, 1] $ и не является решением для $ \cos 2x $.

Таким образом, существуют два значения $ y_1 $ и $ y_2 $, являющиеся корнями уравнения $ 8y^3 + y^2 - 8y + 1 = 0 $ и удовлетворяющие условию $ \cos 2x = y $. Решения для $x$ можно выразить через арккосинус этих корней.

1) $ \cos 2x = y_1 \implies 2x = \pm \arccos(y_1) + 2\pi n \implies x = \pm \frac{1}{2} \arccos(y_1) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

2) $ \cos 2x = y_2 \implies 2x = \pm \arccos(y_2) + 2\pi m \implies x = \pm \frac{1}{2} \arccos(y_2) + \pi m, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \pm \frac{1}{2} \arccos(y) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $, где $y$ — это корни уравнения $ 8y^3 + y^2 - 8y + 1 = 0 $ на интервале $ (\frac{1}{8}, 1) $.

106 а) $ \sin 2x = \cos x $;

б) $ \cos 2x = \sin x $.

а) Дано уравнение $sin 2x = cos x$.
Используем формулу синуса двойного угла $sin 2x = 2 sin x cos x$ и подставим её в исходное уравнение:
$2 sin x cos x = cos x$
Перенесём все члены в левую часть и вынесем общий множитель $cos x$ за скобки:
$2 sin x cos x - cos x = 0$
$cos x (2 sin x - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям.
Первое уравнение: $cos x = 0$. Его решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Второе уравнение: $2 sin x - 1 = 0$, что эквивалентно $sin x = \frac{1}{2}$. Его решения: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n; x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $cos 2x = sin x$.
Используем формулу косинуса двойного угла $cos 2x = 1 - 2 sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции:
$1 - 2 sin^2 x = sin x$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $sin x$:
$2 sin^2 x + sin x - 1 = 0$
Сделаем замену переменной $t = sin x$, с учётом того, что область значений синуса $[-1, 1]$, то есть $|t| \le 1$. Уравнение принимает вид:
$2t^2 + t - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$
Оба корня, $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = -1$, принадлежат отрезку $[-1, 1]$, поэтому оба являются допустимыми. Выполним обратную замену.
Первый случай: $sin x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Второй случай: $sin x = -1$. Это частный случай, решения которого: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

107 a) $\sqrt{3} \sin^2 x + 0.5 \sin (\pi + 2x) = 0;$

б) $\sqrt{3} \cos^2 x - 0.5 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = 0.$

а) Решим уравнение $\sqrt{3}\sin^2 x + 0,5 \sin(\pi + 2x) = 0$.

Сначала используем формулу приведения для синуса: $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.

Тогда $\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x)$. Подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{3}\sin^2 x - 0,5 \sin(2x) = 0$

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

$\sqrt{3}\sin^2 x - 0,5 \cdot (2\sin x \cos x) = 0$

$\sqrt{3}\sin^2 x - \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sqrt{3}\sin x - \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $\sin x = 0$.

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in Z$.

2) $\sqrt{3}\sin x - \cos x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$\sqrt{3}\sin x = \cos x$

Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sqrt{3}\sin x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\sqrt{3}\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\sqrt{3}\tan x = 1$

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z$.

б) Решим уравнение $\sqrt{3}\cos^2 x - 0,5 \cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) = 0$.

Сначала используем формулу приведения для косинуса: $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$.

Тогда $\cos(\frac{3\pi}{2} + 2x) = \sin(2x)$. Подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{3}\cos^2 x - 0,5 \sin(2x) = 0$

Теперь применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

$\sqrt{3}\cos^2 x - 0,5 \cdot (2\sin x \cos x) = 0$

$\sqrt{3}\cos^2 x - \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\sqrt{3}\cos x - \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $\cos x = 0$.

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\sin x$ в правую часть:

$\sqrt{3}\cos x = \sin x$

В первом случае мы уже нашли решения, когда $\cos x = 0$. Для этого уравнения, если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно. Следовательно, в этом случае $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\sqrt{3} = \frac{\sin x}{\cos x}$

$\tan x = \sqrt{3}$

Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in Z$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$.

108 a) Найдите все решения уравнения $\cos 2x = 2 \text{tg}^2 x - \cos^2 x$, удовлетворяющие неравенству $\cos x < \frac{1}{2}$.

б) Найдите все решения уравнения $4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 2 \text{ctg}^2 x$, удовлетворяющие неравенству $\cos x < - \frac{1}{2}$.

а)

Найдём все решения уравнения $\cos 2x = 2\tg^2 x - \cos^2 x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса, то есть $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Для преобразования уравнения воспользуемся тригонометрическими формулами: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ и $\tg^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2\cos^2 x - 1 = 2 \cdot \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} - \cos^2 x$

Умножим обе части уравнения на $\cos^2 x$, так как по ОДЗ $\cos^2 x \neq 0$:

$(2\cos^2 x - 1)\cos^2 x = 2(1 - \cos^2 x) - \cos^4 x$

$2\cos^4 x - \cos^2 x = 2 - 2\cos^2 x - \cos^4 x$

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные члены:

$3\cos^4 x + \cos^2 x - 2 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $y = \cos^2 x$. Учитывая, что $0 \le \cos^2 x \le 1$ и $\cos^2 x \neq 0$, получаем $0 < y \le 1$.

$3y^2 + y - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$y_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $y_1 = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < y \le 1$.

Выполним обратную замену: $\cos^2 x = \frac{2}{3}$.

Отсюда следует, что $\cos x = \sqrt{\frac{2}{3}}$ или $\cos x = -\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Теперь отберём корни, удовлетворяющие неравенству $\cos x < \frac{1}{2}$.

Сравним значения. $\frac{1}{2} = 0.5$, а $\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{0.66...} > \sqrt{0.25} = 0.5$.

Таким образом, значение $\cos x = \sqrt{\frac{2}{3}}$ не удовлетворяет неравенству $\cos x < \frac{1}{2}$.

Значение $\cos x = -\sqrt{\frac{2}{3}}$ отрицательно, следовательно, оно меньше $\frac{1}{2}$.

Значит, нам нужно найти все $x$, для которых $\cos x = -\sqrt{\frac{2}{3}}$.

Решения этого уравнения имеют вид $x = \pm \arccos\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арккосинуса $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, получаем:

$x = \pm \left(\pi - \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \left(\pi - \arccos\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Найдём все решения уравнения $4\sin^4 x + \sin^2 2x = 2\ctg^2 x$.

ОДЗ определяется условием существования котангенса: $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Используем формулы: $\sin^2 2x = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x$ и $\ctg^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$.

Подставим их в исходное уравнение:

$4\sin^4 x + 4\sin^2 x \cos^2 x = 2 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$

В левой части вынесем за скобки $4\sin^2 x$:

$4\sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 2 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, поэтому уравнение упрощается:

$4\sin^2 x = 2 \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$

Умножим обе части на $\sin^2 x$ (по ОДЗ $\sin^2 x \neq 0$):

$4\sin^4 x = 2\cos^2 x$

Разделим на 2 и заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$:

$2\sin^4 x = 1 - \sin^2 x$

$2\sin^4 x + \sin^2 x - 1 = 0$

Сделаем замену $z = \sin^2 x$. По ОДЗ $\sin x \neq 0$, поэтому $\sin^2 x > 0$. Таким образом, $0 < z \le 1$.

$2z^2 + z - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни: $z_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $z_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.

Корень $z_2 = -1$ не подходит, так как $z = \sin^2 x$ не может быть отрицательным.

Остаётся корень $z_1 = \frac{1}{2}$, который удовлетворяет условию $0 < z \le 1$.

Выполним обратную замену: $\sin^2 x = \frac{1}{2}$.

Теперь отберём корни, удовлетворяющие неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$.

Из $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ найдём $\cos^2 x$: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим, какие из этих значений удовлетворяют неравенству $\cos x < -\frac{1}{2}$.

1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это положительное число, оно не может быть меньше отрицательного $-\frac{1}{2}$.

2) $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сравним $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$. Неравенство $-0.707 < -0.5$ является верным. Значит, это значение нам подходит.

Нам нужны все $x$, для которых $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, то получаем:

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

109 Найдите все решения уравнения:

а) $cos x + cos 5x - cos 2x = 0$, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi];$

б) $\frac{\operatorname{ctg} 2x}{\operatorname{ctg} x} + \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} 2x} + 2 = 0$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi].$

а) $\cos x + \cos 5x - \cos 2x = 0$, принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi]$;

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\cos 5x + \cos x = 2 \cos\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2 \cos 3x \cos 2x$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2 \cos 3x \cos 2x - \cos 2x = 0$.

Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (2 \cos 3x - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\cos 2x = 0$

2) $2 \cos 3x - 1 = 0 \implies \cos 3x = \frac{1}{2}$

Решим каждое уравнение и найдем корни на отрезке $[-\pi; \pi]$.

Для первого уравнения $\cos 2x = 0$:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$

Отберем корни на отрезке $[-\pi; \pi]$:

• При $k=-2: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$
• При $k=-1: x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$
• При $k=0: x = \frac{\pi}{4}$
• При $k=1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$

Для второго уравнения $\cos 3x = \frac{1}{2}$:

$3x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$

Отберем корни на отрезке $[-\pi; \pi]$ для серии $x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$:

• При $n=-1: x = \frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{5\pi}{9}$
• При $n=0: x = \frac{\pi}{9}$
• При $n=1: x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{9}$

Отберем корни на отрезке $[-\pi; \pi]$ для серии $x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$:

• При $n=0: x = -\frac{\pi}{9}$
• При $n=1: x = -\frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{9}$
• При $n=-1: x = -\frac{\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{7\pi}{9}$

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ \pm\frac{\pi}{9}, \pm\frac{\pi}{4}, \pm\frac{5\pi}{9}, \pm\frac{3\pi}{4}, \pm\frac{7\pi}{9} $.

б) $\frac{\operatorname{ctg}2x}{\operatorname{ctg}x} + \frac{\operatorname{ctg}x}{\operatorname{ctg}2x} + 2 = 0$, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, и сами котангенсы должны быть определены.
1) $\operatorname{ctg}x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
2) $\operatorname{ctg}x$ определен $\implies \sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
3) $\operatorname{ctg}2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}$.
4) $\operatorname{ctg}2x$ определен $\implies \sin 2x \neq 0 \implies 2x \neq \pi m \implies x \neq \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}$.
Объединив эти условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi n}{4}$ для любого целого $n$.

Введем замену $y = \frac{\operatorname{ctg}2x}{\operatorname{ctg}x}$. Уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} + 2 = 0$.

Умножим обе части на $y$ (при $y \neq 0$, что выполняется согласно ОДЗ):

$y^2 + 2y + 1 = 0$

$(y+1)^2 = 0$

$y = -1$

Выполним обратную замену:

$\frac{\operatorname{ctg}2x}{\operatorname{ctg}x} = -1 \implies \operatorname{ctg}2x = -\operatorname{ctg}x$.

Воспользуемся формулой котангенса двойного угла: $\operatorname{ctg}2x = \frac{\operatorname{ctg}^2x-1}{2\operatorname{ctg}x}$.

$\frac{\operatorname{ctg}^2x-1}{2\operatorname{ctg}x} = -\operatorname{ctg}x$

$\operatorname{ctg}^2x - 1 = -2\operatorname{ctg}^2x$

$3\operatorname{ctg}^2x = 1$

$\operatorname{ctg}^2x = \frac{1}{3}$

$\operatorname{ctg}x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

Получаем две серии решений:

1) $\operatorname{ctg}x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

2) $\operatorname{ctg}x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ, так как $x$ не является кратным $\frac{\pi}{4}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$.

Из первой серии ($x = \frac{\pi}{3} + \pi n$):

• При $n=0: x = \frac{\pi}{3}$
• При $n=1: x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$

Из второй серии ($x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$):

• При $n=0: x = \frac{2\pi}{3}$
• При $n=1: x = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3}$

Ответ: $ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} $.

Решите уравнение (110–118):

110 $3 \cos 2x + 4 \sin x = 1.$

110. Дано тригонометрическое уравнение:

$3\cos 2x + 4\sin x = 1$

Для решения этого уравнения необходимо привести все тригонометрические функции к одному аргументу $x$. Для этого воспользуемся формулой косинуса двойного угла. Существует три варианта этой формулы, но наиболее подходящим является $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, так как в уравнении уже есть член с $\sin x$. Это позволит свести уравнение к алгебраическому относительно $\sin x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$3(1 - 2\sin^2 x) + 4\sin x = 1$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 - 6\sin^2 x + 4\sin x = 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону (в правую), чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$0 = 6\sin^2 x - 4\sin x - 3 + 1$

$6\sin^2 x - 4\sin x - 2 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:

$3\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0$

Теперь введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от -1 до 1 включительно, то для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Оба найденных значения $t_1 = 1$ и $t_2 = -1/3$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Выполним обратную замену и решим два получившихся простейших тригонометрических уравнения:

1) $\sin x = 1$

Это частный случай, решением является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = -\frac{1}{3}$

Общее решение для этого уравнения имеет вид:

$x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство нечетности функции арксинус, $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, можно переписать решение в более удобном виде:

$x = (-1)^n \left(-\arcsin\frac{1}{3}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin\frac{1}{3} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

111 $\cos x - \cos 2x - \sin 2x = 1$, $x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}\right]$.

Решим данное тригонометрическое уравнение.

Исходное уравнение:$ \cos x - \cos 2x - \sin 2x = 1 $

Используем формулы двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $ и $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $. Подставим их в уравнение:$ \cos x - (2\cos^2 x - 1) - 2\sin x \cos x = 1 $

Раскроем скобки и упростим выражение:$ \cos x - 2\cos^2 x + 1 - 2\sin x \cos x = 1 $$ \cos x - 2\cos^2 x - 2\sin x \cos x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:$ \cos x (1 - 2\cos x - 2\sin x) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1) $ \cos x = 0 $

Общее решение этого уравнения:$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 1 - 2\cos x - 2\sin x = 0 $

$ 2\cos x + 2\sin x = 1 $$ \cos x + \sin x = \frac{1}{2} $

Для решения этого уравнения используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части уравнения на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:$ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ \cos\frac{\pi}{4}\cos x + \sin\frac{\pi}{4}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Применяя формулу косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $, получаем:$ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Общее решение этого уравнения:$ x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.$ x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $ \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}\right] $.

Для серии корней $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $:С помощью двойного неравенства найдем подходящие значения $ k $:$ -\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le -\frac{\pi}{6} $Делим на $ \pi $:$ -\frac{3}{2} \le \frac{1}{2} + k \le -\frac{1}{6} $Вычитаем $ \frac{1}{2} $:$ -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} \le k \le -\frac{1}{6} - \frac{1}{2} $$ -2 \le k \le -\frac{4}{6} $$ -2 \le k \le -\frac{2}{3} $Целые значения $ k $ из этого промежутка: $ k = -2 $ и $ k = -1 $.При $ k = -2 $: $ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} $.При $ k = -1 $: $ x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} $.Оба этих корня принадлежат заданному отрезку.

Для серий корней $ x = \frac{\pi}{4} \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + 2\pi n $:Обозначим $ \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $. Так как $ 0 < \frac{\sqrt{2}}{4} < \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{\pi}{4} $, то $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.

Рассмотрим серию $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha + 2\pi n $.При $ n = -1 $: $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha - 2\pi = \alpha - \frac{7\pi}{4} $.Оценим значение $ x $: поскольку $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $, то $ \frac{\pi}{4} - \frac{7\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{4} $, что дает $ -\frac{6\pi}{4} < x < -\frac{5\pi}{4} $, или $ -\frac{3\pi}{2} < x < -\frac{5\pi}{4} $.Этот промежуток полностью входит в заданный отрезок $ \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}\right] $. Значит, корень $ x = -\frac{7\pi}{4} + \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $ подходит.При других целых $ n $ корни не попадут в заданный отрезок.

Рассмотрим серию $ x = \frac{\pi}{4} - \alpha + 2\pi n $.При $ n = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} - \alpha $.Оценим значение $ x $: поскольку $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $, то $ -\frac{\pi}{2} < -\alpha < -\frac{\pi}{4} $, и $ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} $, что дает $ -\frac{\pi}{4} < x < 0 $.Сравним корень $ x $ с правой границей отрезка $ -\frac{\pi}{6} $.Сравним $ \frac{\pi}{4} - \alpha $ и $ -\frac{\pi}{6} $, что эквивалентно сравнению $ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12} $ и $ \alpha $.Сравним косинусы этих углов: $ \cos(\frac{5\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $ и $ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4} $.Так как $ 2\sqrt{2} > \sqrt{6} \Leftrightarrow \sqrt{8} > \sqrt{6} $, то $ \sqrt{2} > \sqrt{6} - \sqrt{2} $, и $ \frac{\sqrt{2}}{4} > \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.Значит, $ \cos(\alpha) > \cos(\frac{5\pi}{12}) $. Поскольку функция $ \cos t $ убывает на $ [0, \pi] $, то $ \alpha < \frac{5\pi}{12} $.Следовательно, $ x = \frac{\pi}{4} - \alpha > \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{12} = -\frac{2\pi}{12} = -\frac{\pi}{6} $.Таким образом, этот корень не принадлежит отрезку $ \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{6}\right] $.При других целых $ n $ корни также не попадут в заданный отрезок.

Итого, в заданном отрезке лежат три корня.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{7\pi}{4} + \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) $.

112 $\cos 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x.$

Для решения тригонометрического уравнения $\cos(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)$ преобразуем его правую часть.

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Заметим, что коэффициенты $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{6}$: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Подставим эти значения в правую часть уравнения, чтобы получить: $\cos(3x) = \cos(\frac{\pi}{6})\cos(x) - \sin(\frac{\pi}{6})\sin(x)$.

Правая часть этого выражения соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$. Применив эту формулу, где $a = \frac{\pi}{6}$ и $b = x$, мы можем упростить уравнение до следующего вида: $\cos(3x) = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Уравнение вида $\cos(A) = \cos(B)$ имеет общее решение $A = \pm B + 2\pi k$, где $k$ является любым целым числом ($k \in \mathbb{Z}$). Это приводит к рассмотрению двух случаев.

1) Рассмотрим случай со знаком "плюс":
$3x = x + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$3x - x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) Рассмотрим случай со знаком "минус":
$3x = -(x + \frac{\pi}{6}) + 2\pi k$
$3x = -x - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$3x + x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$4x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем полный набор корней уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

113 $5(\sin 2x)^2 + 8(\cos x)^3 = 8 \cos x, x \in \left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$

а)

Преобразуем исходное уравнение $5(\sin 2x)^2 + 8(\cos x)^3 = 8 \cos x$.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5\sin^2(2x) + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$5(2\sin x \cos x)^2 + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0$

$5 \cdot 4\sin^2 x \cos^2 x + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0$

$20\sin^2 x \cos^2 x + 8\cos^3 x - 8\cos x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4\cos x$:

$4\cos x (5\sin^2 x \cos x + 2\cos^2 x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $4\cos x = 0$, откуда $\cos x = 0$.

2) $5\sin^2 x \cos x + 2\cos^2 x - 2 = 0$.

Решим первое уравнение:

$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим второе уравнение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$5(1 - \cos^2 x)\cos x + 2\cos^2 x - 2 = 0$

$5\cos x - 5\cos^3 x + 2\cos^2 x - 2 = 0$

Умножим уравнение на -1 и расположим слагаемые по убыванию степеней $\cos x$:

$5\cos^3 x - 2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(5\cos^3 x - 5\cos x) - (2\cos^2 x - 2) = 0$

$5\cos x(\cos^2 x - 1) - 2(\cos^2 x - 1) = 0$

$(\cos^2 x - 1)(5\cos x - 2) = 0$

Это уравнение также распадается на два:

$\cos^2 x - 1 = 0 \implies \cos^2 x = 1 \implies \cos x = \pm 1$.

$5\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = \frac{2}{5}$.

Теперь найдем решения для каждого случая:

Для $\cos x = 1$ решение $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для $\cos x = -1$ решение $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии можно объединить в одну: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Для $\cos x = \frac{2}{5}$ решение $x = \pm \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все найденные серии решений, получаем ответ для пункта а).

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad \pm \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

б)

Произведем отбор корней, принадлежащих отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

1. Серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство: $\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le 2\pi$.

Разделив на $\pi$: $\frac{3}{2} \le \frac{1}{2} + k \le 2$.

Вычтем $\frac{1}{2}$: $1 \le k \le \frac{3}{2}$.

Единственное целое значение $k$ в этом промежутке — это $k=1$.

Находим корень: $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2}$.

2. Серия $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство: $\frac{3\pi}{2} \le \pi n \le 2\pi$.

Разделив на $\pi$: $\frac{3}{2} \le n \le 2$.

Единственное целое значение $n$ в этом промежутке — это $n=2$.

Находим корень: $x = 2\pi$.

3. Серия $x = \pm \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим случай $x = \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m$.

Так как $0 < \arccos\left(\frac{2}{5}\right) < \frac{\pi}{2}$, при $m=0$ корень $x = \arccos\left(\frac{2}{5}\right)$ не попадает в заданный отрезок. При $m=1$ корень $x = \arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi$ будет больше $2\pi$. При других целых $m$ корни также не попадут в отрезок.

Рассмотрим случай $x = -\arccos\left(\frac{2}{5}\right) + 2\pi m$.

При $m=1$ получаем корень $x = 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{5}\right)$.

Оценим его значение. Известно, что $0 < \arccos\left(\frac{2}{5}\right) < \frac{\pi}{2}$.

Тогда, вычитая из $2\pi$, получаем:

$2\pi - \frac{\pi}{2} < 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{5}\right) < 2\pi - 0$

$\frac{3\pi}{2} < 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{5}\right) < 2\pi$

Этот корень принадлежит интервалу $\left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$, а значит и отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

При других целых $m$ корни не попадут в заданный отрезок.

Таким образом, в указанном отрезке находятся три корня.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}, 2\pi, 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{5}\right)$.

114 $tg x + tg 2x + tg x tg 2x tg 3x = tg 3x + tg 4x.$

Исходное уравнение:$ \tg x + \tg 2x + \tg x \tg 2x \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:$ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $

Из этой формулы можно выразить сумму тангенсов:$ \tg \alpha + \tg \beta = \tg(\alpha + \beta)(1 - \tg \alpha \tg \beta) $

Применим эту формулу для $ \alpha = x $ и $ \beta = 2x $. Тогда $ \alpha + \beta = 3x $.$ \tg x + \tg 2x = \tg(x + 2x)(1 - \tg x \tg 2x) = \tg 3x (1 - \tg x \tg 2x) $$ \tg x + \tg 2x = \tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x $

Теперь подставим это выражение в левую часть исходного уравнения. Выражение $ \tg x + \tg 2x $ заменяем на $ \tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x $:$ (\tg 3x - \tg x \tg 2x \tg 3x) + \tg x \tg 2x \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $

В левой части слагаемые $ - \tg x \tg 2x \tg 3x $ и $ + \tg x \tg 2x \tg 3x $ взаимно уничтожаются:$ \tg 3x = \tg 3x + \tg 4x $

Вычитая $ \tg 3x $ из обеих частей уравнения, получаем:$ \tg 4x = 0 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является:$ 4x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $$ x = \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Теперь необходимо проверить, входят ли найденные решения в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Тангенс $ \tg \alpha $ определен, если $ \cos \alpha \neq 0 $, то есть $ \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Условия ОДЗ для нашего уравнения:1. $ \tg x $ определен $ \implies x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $2. $ \tg 2x $ определен $ \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} $3. $ \tg 3x $ определен $ \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} $4. $ \tg 4x $ определен $ \implies 4x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} $

Проверим наши решения $ x = \frac{n\pi}{4} $ на соответствие этим условиям.

1. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{2} + k \implies n = 2 + 4k $. Значения $ n $, имеющие вид $ 4k+2 $, нужно исключить.

2. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \implies n = 1 + 2k $. Это означает, что $ n $ не может быть нечетным числом. Все нечетные $ n $ нужно исключить.

3. $ \frac{n\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \implies \frac{n}{4} = \frac{1}{6} + \frac{k}{3} $. Умножим на 12: $ 3n = 2 + 4k $. Отсюда $ 3n \equiv 2 \pmod{4} $. Проверяя остатки при делении на 4, находим, что это равенство выполняется при $ n \equiv 2 \pmod{4} $, то есть $ n = 2 + 4m $. Это то же самое ограничение, что и в пункте 1.

4. $ \frac{n\

115 $ \cos \left( 2x - \frac{\pi}{3} \right) - \sin x = \frac{1}{2}. $

Исходное уравнение:

$$ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \sin x = \frac{1}{2} $$

Для решения раскроем косинус разности в левой части уравнения, используя формулу $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta $.

$$ \cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin x = \frac{1}{2} $$

Подставим известные значения тригонометрических функций $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $:

$$ \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) - \sin x = \frac{1}{2} $$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$ \cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) - 2\sin x = 1 $$

Теперь воспользуемся формулами двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $ и $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, чтобы выразить все функции через аргумент $x$:

$$ (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt{3}(2\sin x \cos x) - 2\sin x = 1 $$

Упростим полученное выражение. Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$$ -2\sin^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 2\sin x = 0 $$

Разделим всё уравнение на $-2$ для дальнейшего упрощения:

$$ \sin^2 x - \sqrt{3}\sin x \cos x + \sin x = 0 $$

Вынесем общий множитель $ \sin x $ за скобки:

$$ \sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x + 1) = 0 $$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $ \sin x = 0 $
Решения этого простейшего тригонометрического уравнения:$$ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$

2) $ \sin x - \sqrt{3}\cos x + 1 = 0 $
Перепишем уравнение в виде $ a\cos x + b\sin x = c $:$$ \sqrt{3}\cos x - \sin x = 1 $$Решим это уравнение методом введения вспомогательного угла. Для этого разделим обе части на $ R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2 $:$$ \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2} $$Заметим, что коэффициенты являются значениями косинуса и синуса угла $ \frac{\pi}{6} $, то есть $ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $. Подставим их в уравнение:$$ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos x - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin x = \frac{1}{2} $$Применив формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $, получим:$$ \cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $$Общее решение этого уравнения имеет вид:$$ x + \frac{\pi}{6} = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$$$ x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$Рассмотрим каждый случай отдельно, чтобы найти $x$:
а) $ x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi $
б) $ x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi $

Объединив все найденные серии решений из пунктов 1 и 2, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ k\pi; \quad \frac{\pi}{6} + 2n\pi; \quad -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, $ где $k, n \in \mathbb{Z} $.

116 $\sin x = 2 \ctg x$

Дано тригонометрическое уравнение:

$ \sin x = 2 \operatorname{ctg} x $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть когда $ \sin x = 0 $. Это происходит при $ x = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $). Таким образом, ОДЗ: $ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь преобразуем уравнение, подставив определение котангенса:

$ \sin x = 2 \frac{\cos x}{\sin x} $

Умножим обе части уравнения на $ \sin x $, что допустимо, так как согласно ОДЗ $ \sin x \neq 0 $:

$ \sin^2 x = 2 \cos x $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, из которого выразим $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $. Подставим это в наше уравнение:

$ 1 - \cos^2 x = 2 \cos x $

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \cos x $:

$ \cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0 $

Для решения этого уравнения введем замену: пусть $ t = \cos x $. Так как область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $, то и для $ t $ должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $.

Получаем квадратное уравнение:

$ t^2 + 2t - 1 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения $ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $, где $ D = b^2 - 4ac $.

Вычислим дискриминант:

$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $

Найдем корни:

$ t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $

Таким образом, мы получили два возможных значения для $ t $:

$ t_1 = \sqrt{2} - 1 $

$ t_2 = -1 - \sqrt{2} $

Теперь вернемся к замене $ t = \cos x $ и проверим, какие из корней подходят с учетом ограничения $ -1 \le \cos x \le 1 $.

1. $ \cos x = \sqrt{2} - 1 $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \cos x \approx 1.414 - 1 = 0.414 $. Это значение лежит в пределах от $ -1 $ до $ 1 $, поэтому это решение нам подходит.

2. $ \cos x = -1 - \sqrt{2} $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \cos x \approx -1 - 1.414 = -2.414 $. Это значение не принадлежит отрезку $ [-1, 1] $, следовательно, этот корень является посторонним.

Осталось найти $ x $ из уравнения $ \cos x = \sqrt{2} - 1 $. Общее решение уравнения вида $ \cos x = a $ записывается как $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Применяя эту формулу, получаем:

$ x = \pm \arccos(\sqrt{2} - 1) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как если $ \cos x = \sqrt{2} - 1 $, то $ \cos x \neq \pm 1 $, а значит $ \sin x \neq 0 $.

Ответ: $ \pm \arccos(\sqrt{2} - 1) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

117 $3 \sin^2 x - 3 \cos x - 6 \sin x + 2 \sin 2x + 3 = 0$

Для решения уравнения $3 \sin^2 x - 3 \cos x - 6 \sin x + 2 \sin 2x + 3 = 0$ выполним следующие преобразования.

1. Упрощение уравнения

Сначала применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$3 \sin^2 x - 3 \cos x - 6 \sin x + 4 \sin x \cos x + 3 = 0$.

Теперь сгруппируем слагаемые. Заметим, что выражение $3 \sin^2 x - 6 \sin x + 3$ является полным квадратом: $3(\sin^2 x - 2 \sin x + 1) = 3(\sin x - 1)^2$.
Перепишем уравнение, выделив этот квадрат и сгруппировав оставшиеся члены:
$(3 \sin^2 x - 6 \sin x + 3) + (4 \sin x \cos x - 3 \cos x) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы и получим более простое уравнение:
$3(\sin x - 1)^2 + \cos x(4 \sin x - 3) = 0$.

2. Нахождение корней

Для решения полученного уравнения рассмотрим два взаимоисключающих случая.

Случай 1: $\sin x = 1$
Если $\sin x = 1$, то первый член $3(\sin x - 1)^2$ обращается в ноль. При этом из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\cos x = 0$. Подставим эти значения в уравнение:
$3(1 - 1)^2 + 0 \cdot (4 \cdot 1 - 3) = 0 + 0 = 0$.
Равенство выполняется, следовательно, все значения $x$, для которых $\sin x = 1$, являются решениями. Это дает первую серию корней:
$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x \ne 1$
В этом случае множитель $(\sin x - 1)^2$ строго больше нуля. Перепишем уравнение в виде:
$\cos x(4 \sin x - 3) = -3(\sin x - 1)^2$.
Правая часть этого равенства всегда отрицательна. Следовательно, и левая часть должна быть отрицательной: $\cos x(4 \sin x - 3) < 0$. Это условие понадобится для отсева посторонних корней.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в квадрат и заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$. Для удобства введем замену $s = \sin x$:
$\cos^2 x(4s - 3)^2 = 9(s - 1)^4$
$(1 - s^2)(4s - 3)^2 = 9(s - 1)^4$.
Так как $(1-s^2) = (1-s)(1+s)$ и $(s-1)^4 = (1-s)^4$, получаем:
$(1 - s)(1 + s)(4s - 3)^2 = 9(1 - s)^4$.
Поскольку мы рассматриваем случай $s \ne 1$, можно разделить обе части на $(1 - s)$:
$(1 + s)(4s - 3)^2 = 9(1 - s)^3$.
Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим кубическое уравнение:
$25s^3 - 35s^2 + 12s = 0$.
Вынесем $s$ за скобку: $s(25s^2 - 35s + 12) = 0$.
Это уравнение дает три возможных значения для $s$: $s=0$ и корни квадратного уравнения $25s^2 - 35s + 12 = 0$.
Находим корни квадратного уравнения по формуле: $D = (-35)^2 - 4(25)(12) = 1225 - 1200 = 25 = 5^2$.
$s = \frac{35 \pm 5}{50}$. Отсюда $s_1 = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$ и $s_2 = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$.

Теперь проверим найденные значения $\sin x$ с помощью условия $\cos x(4\sin x - 3) < 0$:
• При $\sin x = 0$: условие принимает вид $-3\cos x < 0$, что эквивалентно $\cos x > 0$. Из $\sin x=0$ следует $\cos x=\pm 1$, поэтому выбираем $\cos x=1$. Этой паре значений соответствует серия корней $x = 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• При $\sin x = 4/5$: условие принимает вид $\cos x(4 \cdot \frac{4}{5} - 3) < 0$, то есть $\frac{1}{5}\cos x < 0$, что эквивалентно $\cos x < 0$. Из $\sin x=4/5$ следует $\cos x=\pm 3/5$, поэтому выбираем $\cos x=-3/5$. Этой паре соответствует серия корней $x = \arccos(-3/5) + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• При $\sin x = 3/5$: условие принимает вид $\cos x(4 \cdot \frac{3}{5} - 3) < 0$, то есть $-\frac{3}{5}\cos x < 0$, что эквивалентно $\cos x > 0$. Из $\sin x=3/5$ следует $\cos x=\pm 4/5$, поэтому выбираем $\cos x=4/5$. Этой паре соответствует серия корней $x = \arccos(4/5) + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2 \pi k, \; 2 \pi k, \; \arccos(\frac{4}{5}) + 2 \pi k, \; \arccos(-\frac{3}{5}) + 2 \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

118 $ \cos x + \cos 3x = \sqrt{3} \cos 2x $.

Для решения данного тригонометрического уравнения $\cos x + \cos 3x = \sqrt{3} \cos 2x$ преобразуем левую часть с помощью формулы суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

Применив эту формулу к $\cos 3x + \cos x$, получим:

$\cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x + x}{2} \cos \frac{3x - x}{2} = 2 \cos \frac{4x}{2} \cos \frac{2x}{2} = 2 \cos(2x) \cos x$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$2 \cos(2x) \cos x = \sqrt{3} \cos 2x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2 \cos(2x) \cos x - \sqrt{3} \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (2 \cos x - \sqrt{3}) = 0$

Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1. $\cos 2x = 0$

2. $2 \cos x - \sqrt{3} = 0$

Рассмотрим и решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$\cos 2x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения, решения которого находятся по формуле:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Решение второго уравнения:

$2 \cos x - \sqrt{3} = 0$

$2 \cos x = \sqrt{3}$

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения находятся по общей формуле:

$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, то получаем:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Объединяя все найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение (119-129):

119 a) $|x - \frac{3}{7}| = \frac{2}{7}$;

б) $|x - \frac{5}{8}| = \frac{3}{5}$.

а)

Для решения уравнения с модулем $|x - \frac{3}{7}| = \frac{2}{7}$ необходимо рассмотреть два случая. Уравнение вида $|A|=B$, где $B \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ и $A=-B$.

Случай 1: Раскрываем модуль, оставляя выражение под ним без изменений.
$x - \frac{3}{7} = \frac{2}{7}$
Чтобы найти $x$, перенесем $-\frac{3}{7}$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x = \frac{2}{7} + \frac{3}{7}$
$x = \frac{2+3}{7}$
$x_1 = \frac{5}{7}$

Случай 2: Раскрываем модуль, изменяя знак выражения в правой части уравнения.
$x - \frac{3}{7} = -\frac{2}{7}$
Аналогично, переносим $-\frac{3}{7}$ в правую часть:
$x = -\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$
$x = \frac{-2+3}{7}$
$x_2 = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}; \frac{5}{7}$.

б)

Решаем уравнение $|x - \frac{5}{8}| = \frac{3}{5}$ аналогичным образом, рассматривая два случая.

Случай 1:
$x - \frac{5}{8} = \frac{3}{5}$
Переносим $-\frac{5}{8}$ в правую часть:
$x = \frac{3}{5} + \frac{5}{8}$
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приводим их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 8 равно 40.
$x = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5}$
$x = \frac{24}{40} + \frac{25}{40}$
$x = \frac{24 + 25}{40}$
$x_1 = \frac{49}{40}$

Случай 2:
$x - \frac{5}{8} = -\frac{3}{5}$
Переносим $-\frac{5}{8}$ в правую часть:
$x = -\frac{3}{5} + \frac{5}{8}$
Приводим дроби к общему знаменателю 40:
$x = -\frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 5}{8 \cdot 5}$
$x = -\frac{24}{40} + \frac{25}{40}$
$x = \frac{-24 + 25}{40}$
$x_2 = \frac{1}{40}$

Ответ: $\frac{1}{40}; \frac{49}{40}$.

120 а) $|14 - x| = x^2 - 196;$

б) $|16 - x| = x^2 - 256;$

в) $|19 - x| = x^2 - 361;$

г) $|17 - x| = x^2 - 289.$

а) Решим уравнение $|14 - x| = x^2 - 196$.

Поскольку левая часть уравнения (модуль) всегда неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $x^2 - 196 \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x^2 \ge 196$, то есть при $|x| \ge 14$, что равносильно $x \in (-\infty; -14] \cup [14; +\infty)$. Это область допустимых значений (ОДЗ).

Для решения уравнения раскроем модуль, рассмотрев два случая.
1. Случай, когда $14 - x \ge 0$, то есть $x \le 14$.
В этом случае $|14 - x| = 14 - x$, и уравнение принимает вид:
$14 - x = x^2 - 196$
$x^2 + x - 210 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 1 + 840 = 841 = 29^2$
$x_1 = \frac{-1 - 29}{2} = -15$
$x_2 = \frac{-1 + 29}{2} = 14$
Проверим найденные корни. Оба корня удовлетворяют условию случая ($x \le 14$) и ОДЗ ($|x| \ge 14$). Следовательно, оба являются решениями.

2. Случай, когда $14 - x < 0$, то есть $x > 14$.
В этом случае $|14 - x| = -(14 - x) = x - 14$, и уравнение принимает вид:
$x - 14 = x^2 - 196$
$x^2 - x - 182 = 0$
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729 = 27^2$
$x_3 = \frac{1 - 27}{2} = -13$
$x_4 = \frac{1 + 27}{2} = 14$
Проверим найденные корни. Ни один из них не удовлетворяет условию этого случая ($x > 14$). Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяем решения из первого случая.

Ответ: $-15; 14$.

б) Решим уравнение $|16 - x| = x^2 - 256$.

ОДЗ: $x^2 - 256 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 256$, то есть $|x| \ge 16$.

1. Случай, когда $16 - x \ge 0$, то есть $x \le 16$.
$16 - x = x^2 - 256$
$x^2 + x - 272 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089 = 33^2$
$x_1 = \frac{-1 - 33}{2} = -17$
$x_2 = \frac{-1 + 33}{2} = 16$
Оба корня удовлетворяют условиям $x \le 16$ и $|x| \ge 16$, поэтому оба являются решениями.

2. Случай, когда $16 - x < 0$, то есть $x > 16$.
$-(16 - x) = x^2 - 256$
$x - 16 = x^2 - 256$
$x^2 - x - 240 = 0$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961 = 31^2$
$x_3 = \frac{1 - 31}{2} = -15$
$x_4 = \frac{1 + 31}{2} = 16$
Ни один из корней не удовлетворяет условию $x > 16$, значит в этом случае решений нет.

Ответ: $-17; 16$.

в) Решим уравнение $|19 - x| = x^2 - 361$.

ОДЗ: $x^2 - 361 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 361$, то есть $|x| \ge 19$.

1. Случай, когда $19 - x \ge 0$, то есть $x \le 19$.
$19 - x = x^2 - 361$
$x^2 + x - 380 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521 = 39^2$
$x_1 = \frac{-1 - 39}{2} = -20$
$x_2 = \frac{-1 + 39}{2} = 19$
Оба корня удовлетворяют условиям $x \le 19$ и $|x| \ge 19$, поэтому оба являются решениями.

2. Случай, когда $19 - x < 0$, то есть $x > 19$.
$-(19 - x) = x^2 - 361$
$x - 19 = x^2 - 361$
$x^2 - x - 342 = 0$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-342) = 1 + 1368 = 1369 = 37^2$
$x_3 = \frac{1 - 37}{2} = -18$
$x_4 = \frac{1 + 37}{2} = 19$
Ни один из корней не удовлетворяет условию $x > 19$, значит в этом случае решений нет.

Ответ: $-20; 19$.

г) Решим уравнение $|17 - x| = x^2 - 289$.

ОДЗ: $x^2 - 289 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 289$, то есть $|x| \ge 17$.

1. Случай, когда $17 - x \ge 0$, то есть $x \le 17$.
$17 - x = x^2 - 289$
$x^2 + x - 306 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-306) = 1 + 1224 = 1225 = 35^2$
$x_1 = \frac{-1 - 35}{2} = -18$
$x_2 = \frac{-1 + 35}{2} = 17$
Оба корня удовлетворяют условиям $x \le 17$ и $|x| \ge 17$, поэтому оба являются решениями.

2. Случай, когда $17 - x < 0$, то есть $x > 17$.
$-(17 - x) = x^2 - 289$
$x - 17 = x^2 - 289$
$x^2 - x - 272 = 0$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089 = 33^2$
$x_3 = \frac{1 - 33}{2} = -16$
$x_4 = \frac{1 + 33}{2} = 17$
Ни один из корней не удовлетворяет условию $x > 17$, значит в этом случае решений нет.

Ответ: $-18; 17$.