Номер 116, страница 420 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 116, страница 420.

Условие.

116 $\sin x = 2 \ctg x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Дано тригонометрическое уравнение:

$ \sin x = 2 \operatorname{ctg} x $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция котангенса $ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $ не определена, когда ее знаменатель равен нулю, то есть когда $ \sin x = 0 $. Это происходит при $ x = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $). Таким образом, ОДЗ: $ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь преобразуем уравнение, подставив определение котангенса:

$ \sin x = 2 \frac{\cos x}{\sin x} $

Умножим обе части уравнения на $ \sin x $, что допустимо, так как согласно ОДЗ $ \sin x \neq 0 $:

$ \sin^2 x = 2 \cos x $

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, из которого выразим $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $. Подставим это в наше уравнение:

$ 1 - \cos^2 x = 2 \cos x $

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \cos x $:

$ \cos^2 x + 2 \cos x - 1 = 0 $

Для решения этого уравнения введем замену: пусть $ t = \cos x $. Так как область значений функции косинуса — отрезок $ [-1, 1] $, то и для $ t $ должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $.

Получаем квадратное уравнение:

$ t^2 + 2t - 1 = 0 $

Найдем корни этого уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения $ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $, где $ D = b^2 - 4ac $.

Вычислим дискриминант:

$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 $

Найдем корни:

$ t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $

Таким образом, мы получили два возможных значения для $ t $:

$ t_1 = \sqrt{2} - 1 $

$ t_2 = -1 - \sqrt{2} $

Теперь вернемся к замене $ t = \cos x $ и проверим, какие из корней подходят с учетом ограничения $ -1 \le \cos x \le 1 $.

1. $ \cos x = \sqrt{2} - 1 $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \cos x \approx 1.414 - 1 = 0.414 $. Это значение лежит в пределах от $ -1 $ до $ 1 $, поэтому это решение нам подходит.

2. $ \cos x = -1 - \sqrt{2} $. Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, то $ \cos x \approx -1 - 1.414 = -2.414 $. Это значение не принадлежит отрезку $ [-1, 1] $, следовательно, этот корень является посторонним.

Осталось найти $ x $ из уравнения $ \cos x = \sqrt{2} - 1 $. Общее решение уравнения вида $ \cos x = a $ записывается как $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Применяя эту формулу, получаем:

$ x = \pm \arccos(\sqrt{2} - 1) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как если $ \cos x = \sqrt{2} - 1 $, то $ \cos x \neq \pm 1 $, а значит $ \sin x \neq 0 $.

Ответ: $ \pm \arccos(\sqrt{2} - 1) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $