Номер 122, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 122, страница 421.

Условие.

122 а) $x^2 - 6|x| - 2 = 0;$

б) $x^2 + 4|x| - 1 = 0;$

В) $|x^2 - 2x - 1| - x + 1 = 0;$

Г) $|x^2 - 2x - 1| + x - 4 = 0;$

Д) $\frac{x}{|x|} + x = x^2 + 1;$

е) $\frac{|x|}{x} + 2x = x^2 + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $x^2 - 6|x| - 2 = 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2 - 6t - 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$. Корни уравнения для $t$: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$. Получаем два значения для $t$: $t_1 = 3 + \sqrt{11}$ $t_2 = 3 - \sqrt{11}$ Проверим условие $t \ge 0$. $t_1 = 3 + \sqrt{11} > 0$, следовательно, это подходящий корень. Для $t_2$: так как $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Значит, $3 - \sqrt{11} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Возвращаемся к исходной переменной $x$: $|x| = t_1 = 3 + \sqrt{11}$. Отсюда получаем два решения: $x = 3 + \sqrt{11}$ и $x = -(3 + \sqrt{11})$.
Ответ: $\pm (3 + \sqrt{11})$.

б) $x^2 + 4|x| - 1 = 0$

Используем свойство $x^2 = |x|^2$. Сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение преобразуется в квадратное: $t^2 + 4t - 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$. Корни уравнения для $t$: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$. Получаем два значения для $t$: $t_1 = -2 + \sqrt{5}$ $t_2 = -2 - \sqrt{5}$ Проверим условие $t \ge 0$. Для $t_1$: так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Значит, $-2 + \sqrt{5} > 0$. Этот корень подходит. $t_2 = -2 - \sqrt{5} < 0$, этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Возвращаемся к переменной $x$: $|x| = t_1 = \sqrt{5} - 2$. Отсюда получаем два решения: $x = \sqrt{5} - 2$ и $x = -(\sqrt{5} - 2) = 2 - \sqrt{5}$.
Ответ: $\pm (\sqrt{5} - 2)$.

в) $|x^2 - 2x - 1| - x + 1 = 0$

Перепишем уравнение в виде $|x^2 - 2x - 1| = x - 1$. По определению модуля, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $x - 1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$. При этом условии уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 1) $x^2 - 2x - 1 = x - 1$ 2) $x^2 - 2x - 1 = -(x - 1)$ Решим первое уравнение: $x^2 - 3x = 0$ $x(x - 3) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Проверяем условие $x \ge 1$. Корень $x_1 = 0$ не подходит. Корень $x_2 = 3$ подходит. Решим второе уравнение: $x^2 - 2x - 1 = -x + 1$ $x^2 - x - 2 = 0$ По теореме Виета, корни $x_3 = 2$ и $x_4 = -1$. Проверяем условие $x \ge 1$. Корень $x_3 = 2$ подходит. Корень $x_4 = -1$ не подходит. Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=2$ и $x=3$.
Ответ: $2; 3$.

г) $|x^2 - 2x - 1| + x - 4 = 0$

Перепишем уравнение в виде $|x^2 - 2x - 1| = 4 - x$. Из определения модуля следует, что $4 - x \ge 0$, откуда $x \le 4$. При этом условии уравнение равносильно совокупности двух уравнений: 1) $x^2 - 2x - 1 = 4 - x$ 2) $x^2 - 2x - 1 = -(4 - x)$ Решим первое уравнение: $x^2 - x - 5 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$. Проверим условие $x \le 4$. $x_1 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$. Так как $4 < \sqrt{21} < 5$, то $x_1 \approx \frac{1 + 4.58}{2} \approx 2.79$. $2.79 \le 4$, корень подходит. $x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$. $x_2 \approx \frac{1 - 4.58}{2} \approx -1.79$. $-1.79 \le 4$, корень подходит. Решим второе уравнение: $x^2 - 2x - 1 = -4 + x$ $x^2 - 3x + 3 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет. Следовательно, решениями исходного уравнения являются $x = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Ответ: $\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$.

д) $\frac{x}{|x|} + x = x^2 + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$. Рассмотрим два случая. Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид: $\frac{x}{x} + x = x^2 + 1$ $1 + x = x^2 + 1$ $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Учитывая условие $x > 0$, корень $x_1 = 0$ не подходит. Корень $x_2 = 1$ подходит. Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид: $\frac{x}{-x} + x = x^2 + 1$ $-1 + x = x^2 + 1$ $x^2 - x + 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет. Единственное решение уравнения - это $x=1$.
Ответ: $1$.

е) $\frac{|x|}{x} + 2x = x^2 + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$. Рассмотрим два случая. Случай 1: $x > 0$. Тогда $|x| = x$, и уравнение принимает вид: $\frac{x}{x} + 2x = x^2 + 1$ $1 + 2x = x^2 + 1$ $x^2 - 2x = 0$ $x(x - 2) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Учитывая условие $x > 0$, корень $x_1 = 0$ не подходит. Корень $x_2 = 2$ подходит. Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$, и уравнение принимает вид: $\frac{-x}{x} + 2x = x^2 + 1$ $-1 + 2x = x^2 + 1$ $x^2 - 2x + 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет. Единственное решение уравнения - это $x=2$.
Ответ: $2$.