Номер 128, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 128, страница 421.

Условие.

128 $|\cos\frac{x}{6}\sin\frac{x}{2}| + |\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{2}| = \sin\frac{5\pi}{17}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение:$|\cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2}| + |\sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2}| = \sin\frac{5\pi}{17}$

Обозначим $a = \cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2}$ и $b = \sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2}$. Уравнение принимает вид $|a| + |b| = \sin\frac{5\pi}{17}$.Используем свойство модуля: $|a| + |b|$ равно $|a+b|$, если $a$ и $b$ одного знака (т.е. $ab \ge 0$), и $|a-b|$, если $a$ и $b$ разных знаков (т.е. $ab \le 0$).

Найдем $a+b$, $b-a$ и $ab$:$a+b = \cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2} = \sin(\frac{x}{2} + \frac{x}{6}) = \sin(\frac{3x+x}{6}) = \sin(\frac{4x}{6}) = \sin(\frac{2x}{3})$.$b-a = \sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2} = \sin(\frac{x}{6} - \frac{x}{2}) = \sin(\frac{x-3x}{6}) = \sin(-\frac{2x}{6}) = -\sin(\frac{x}{3})$.$ab = (\cos\frac{x}{6} \sin\frac{x}{2})(\sin\frac{x}{6} \cos\frac{x}{2}) = (\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6})(\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}) = (\frac{1}{2}\sin\frac{x}{3})(\frac{1}{2}\sin x) = \frac{1}{4}\sin\frac{x}{3}\sin x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ab \ge 0$, то есть $\sin\frac{x}{3}\sin x \ge 0$.В этом случае $|a| + |b| = |a+b|$, и уравнение принимает вид:$|\sin(\frac{2x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$.

Случай 2: $ab < 0$, то есть $\sin\frac{x}{3}\sin x < 0$.В этом случае $|a| + |b| = |a-b| = |-(b-a)| = |b-a|$, и уравнение принимает вид:$|-\sin(\frac{x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$, что равносильно $|\sin(\frac{x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$.

Проанализируем условие для случая 2.Условие: $\sin\frac{x}{3}\sin x < 0$.Используя формулу тройного угла $\sin x = \sin(3 \cdot \frac{x}{3}) = 3\sin\frac{x}{3} - 4\sin^3\frac{x}{3} = \sin\frac{x}{3}(3 - 4\sin^2\frac{x}{3})$, подставим в условие:$\sin\frac{x}{3} \cdot \sin\frac{x}{3}(3 - 4\sin^2\frac{x}{3}) < 0$$\sin^2\frac{x}{3}(3 - 4\sin^2\frac{x}{3}) < 0$.Из уравнения для случая 2, $|\sin(\frac{x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17} \neq 0$, поэтому $\sin^2\frac{x}{3} > 0$.Следовательно, условие сводится к $3 - 4\sin^2\frac{x}{3} < 0$, или $\sin^2\frac{x}{3} > \frac{3}{4}$.Из уравнения $|\sin(\frac{x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$ следует, что $\sin^2\frac{x}{3} = \sin^2\frac{5\pi}{17}$.Неравенство принимает вид: $\sin^2\frac{5\pi}{17} > \frac{3}{4}$, что эквивалентно $|\sin\frac{5\pi}{17}| > \frac{\sqrt{3}}{2}$.Так как $0 < \frac{5\pi}{17} < \frac{\pi}{2}$, то $\sin\frac{5\pi}{17} > 0$. Получаем $\sin\frac{5\pi}{17} > \sin\frac{\pi}{3}$.Поскольку функция $\sin t$ возрастает на $[0, \frac{\pi}{2}]$, это неравенство равносильно $\frac{5\pi}{17} > \frac{\pi}{3}$, или $\frac{5}{17} > \frac{1}{3}$, что приводит к $15 > 17$. Это неверно.Таким образом, условие $\sin\frac{x}{3}\sin x < 0$ не выполняется для решений из случая 2. Следовательно, случай 2 не имеет решений.

Все решения должны удовлетворять условиям случая 1.Уравнение: $|\sin(\frac{2x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$.Условие: $\sin\frac{x}{3}\sin x \ge 0$.Аналогично анализу для случая 2, это условие (при $\sin\frac{x}{3} \ne 0$) эквивалентно $\sin^2\frac{x}{3} \le \frac{3}{4}$.Из уравнения $|\sin(\frac{2x}{3})| = \sin\frac{5\pi}{17}$ следует $\sin^2(\frac{2x}{3}) = \sin^2\frac{5\pi}{17}$.Используем формулу двойного угла: $\sin^2(\frac{2x}{3}) = (2\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3})^2 = 4\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3} = 4\sin^2\frac{x}{3}(1-\sin^2\frac{x}{3})$.Пусть $Y = \sin^2\frac{x}{3}$. Тогда $\sin^2\frac{5\pi}{17} = 4Y(1-Y)$, или $4Y^2 - 4Y + \sin^2\frac{5\pi}{17} = 0$.Решая это квадратное уравнение относительно $Y$, получаем:$Y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16\sin^2\frac{5\pi}{17}}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{1-\sin^2\frac{5\pi}{17}}}{8} = \frac{1 \pm \cos\frac{5\pi}{17}}{2}$.Используя формулы половинного угла, получаем два возможных значения для $Y$:$Y_1 = \frac{1 - \cos\frac{5\pi}{17}}{2} = \sin^2(\frac{5\pi}{34})$$Y_2 = \frac{1 + \cos\frac{5\pi}{17}}{2} = \cos^2(\frac{5\pi}{34})$

Теперь проверим условие $\sin^2\frac{x}{3} \le \frac{3}{4}$ для каждого из этих значений.1) Для $Y_1 = \sin^2(\frac{5\pi}{34})$: $\sin^2(\frac{5\pi}{34}) \le \frac{3}{4} \iff \sin\frac{5\pi}{34} \le \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$. Это эквивалентно $\frac{5\pi}{34} \le \frac{\pi}{3} \iff \frac{5}{34} \le \frac{1}{3} \iff 15 \le 34$. Это верно.2) Для $Y_2 = \cos^2(\frac{5\pi}{34})$: $\cos^2(\frac{5\pi}{34}) \le \frac{3}{4} \iff \cos\frac{5\pi}{34} \le \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$. Это эквивалентно $\frac{5\pi}{34} \ge \frac{\pi}{6} \iff \frac{5}{34} \ge \frac{1}{6} \iff 30 \ge 34$. Это неверно.

Следовательно, решениями могут быть только те значения $x$, для которых $\sin^2\frac{x}{3} = \sin^2(\frac{5\pi}{34})$.Это уравнение равносильно $|\sin\frac{x}{3}| = \sin\frac{5\pi}{34}$.Отсюда $\frac{x}{3} = k\pi \pm \frac{5\pi}{34}$, где $k \in \mathbb{Z}$.$x = 3k\pi \pm \frac{15\pi}{34}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 3k\pi \pm \frac{15\pi}{34}$, где $k \in \mathbb{Z}$.