Номер 131, страница 421 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 131, страница 421.

Условие.

131 a) $(7 \sin x - 4\sqrt{3})(7 \sin x - 5\sqrt{2}) = 0;$

б) $(5 \cos x - 3\sqrt{3})(5 \cos x - 2\sqrt{6}) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим уравнение $(7 \sin x - 4\sqrt{3})(7 \sin x - 5\sqrt{2}) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $7 \sin x - 4\sqrt{3} = 0$

2) $7 \sin x - 5\sqrt{2} = 0$

Рассмотрим первое уравнение:

$7 \sin x = 4\sqrt{3}$

$\sin x = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

Проверим, удовлетворяет ли полученное значение условию $|\sin x| \le 1$. Для этого сравним $(\frac{4\sqrt{3}}{7})^2$ с $1$.

$(\frac{4\sqrt{3}}{7})^2 = \frac{16 \cdot 3}{49} = \frac{48}{49}$.

Так как $\frac{48}{49} < 1$, то значение $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ находится в пределах от -1 до 1. Следовательно, уравнение имеет решения:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второе уравнение:

$7 \sin x = 5\sqrt{2}$

$\sin x = \frac{5\sqrt{2}}{7}$

Проверим, удовлетворяет ли это значение условию $|\sin x| \le 1$.

$(\frac{5\sqrt{2}}{7})^2 = \frac{25 \cdot 2}{49} = \frac{50}{49}$.

Так как $\frac{50}{49} > 1$, то значение $\frac{5\sqrt{2}}{7}$ не входит в область значений функции синус. Следовательно, второе уравнение решений не имеет.

Объединяя результаты, получаем, что решения исходного уравнения — это решения только первого уравнения.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $(5\cos x - 3\sqrt{3})(5\cos x - 2\sqrt{6}) = 0$.

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $5\cos x - 3\sqrt{3} = 0$

2) $5\cos x - 2\sqrt{6} = 0$

Рассмотрим первое уравнение:

$5\cos x = 3\sqrt{3}$

$\cos x = \frac{3\sqrt{3}}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли полученное значение условию $|\cos x| \le 1$.

$(\frac{3\sqrt{3}}{5})^2 = \frac{9 \cdot 3}{25} = \frac{27}{25}$.

Так как $\frac{27}{25} > 1$, то значение $\frac{3\sqrt{3}}{5}$ не входит в область значений функции косинус. Следовательно, первое уравнение решений не имеет.

Рассмотрим второе уравнение:

$5\cos x = 2\sqrt{6}$

$\cos x = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли это значение условию $|\cos x| \le 1$.

$(\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 = \frac{4 \cdot 6}{25} = \frac{24}{25}$.

Так как $\frac{24}{25} < 1$, то значение $\frac{2\sqrt{6}}{5}$ находится в пределах от -1 до 1. Следовательно, уравнение имеет решения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя результаты, получаем, что решения исходного уравнения — это решения только второго уравнения.

Ответ: $x = \pm \arccos\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.