Номер 136, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 136, страница 422.

Условие.

136 a) $\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} - \sqrt{5x-3} = 0;$

б) $\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}} - \sqrt{x+4} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} - \sqrt{5x-3} = 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} \frac{x+5}{2x+1} \ge 0 \\ 5x-3 \ge 0 \\ 2x+1 \ne 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство: $5x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{5}$.

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-5$ и $x=-\frac{1}{2}$.

На числовой прямой это дает интервалы $(-\infty, -5]$, $( -5, -\frac{1}{2})$ и $(-\frac{1}{2}, +\infty)$. Проверяя знаки, получаем, что дробь неотрицательна при $x \in (-\infty, -5] \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение всех условий ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -5] \cup (-\frac{1}{2}, +\infty) \\ x \ge \frac{3}{5} \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $x \in [\frac{3}{5}, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим само уравнение. Перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{\frac{x+5}{2x+1}} = \sqrt{5x-3}$

Так как обе части уравнения неотрицательны (в силу ОДЗ), мы можем возвести их в квадрат:

$\frac{x+5}{2x+1} = 5x-3$

Умножим обе части на $(2x+1)$, так как по ОДЗ $x \ge \frac{3}{5}$, то $2x+1 \ne 0$:

$x+5 = (5x-3)(2x+1)$

$x+5 = 10x^2 + 5x - 6x - 3$

$x+5 = 10x^2 - x - 3$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$10x^2 - 2x - 8 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$5x^2 - x - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(5)(-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \ge \frac{3}{5}$).

Корень $x_1 = 1$. Так как $1 \ge \frac{3}{5}$ (1 ≥ 0.6), этот корень подходит.

Корень $x_2 = -\frac{4}{5}$. Так как $-\frac{4}{5} < \frac{3}{5}$ (-0.8 < 0.6), этот корень является посторонним.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x=1$.

---

б) $\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}} - \sqrt{x+4} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} \frac{x+7}{3x+5} \ge 0 \\ x+4 \ge 0 \\ 3x+5 \ne 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем: $x \ge -4$.

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-7$ и $x=-\frac{5}{3}$.

На числовой прямой это дает интервалы $(-\infty, -7]$, $(-7, -\frac{5}{3})$ и $(-\frac{5}{3}, +\infty)$. Дробь неотрицательна при $x \in (-\infty, -7] \cup (-\frac{5}{3}, +\infty)$.

Найдем пересечение всех условий ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -7] \cup (-\frac{5}{3}, +\infty) \\ x \ge -4 \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $x \in (-\frac{5}{3}, +\infty)$. Это ОДЗ нашего уравнения. ($-\frac{5}{3} \approx -1.67$)

Перенесем корень в правую часть уравнения:

$\sqrt{\frac{x+7}{3x+5}} = \sqrt{x+4}$

Возведем обе части в квадрат, так как они неотрицательны на ОДЗ:

$\frac{x+7}{3x+5} = x+4$

Умножим обе части на $(3x+5)$, так как по ОДЗ $x > -\frac{5}{3}$, то $3x+5 \ne 0$:

$x+7 = (x+4)(3x+5)$

$x+7 = 3x^2 + 5x + 12x + 20$

$x+7 = 3x^2 + 17x + 20$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$3x^2 + 16x + 13 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4(3)(13) = 256 - 156 = 100 = 10^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x > -\frac{5}{3}$).

Корень $x_1 = -1$. Так как $-1 > -\frac{5}{3}$ (-1 > -1.67), этот корень подходит.

Корень $x_2 = -\frac{13}{3}$. Так как $-\frac{13}{3} \approx -4.33$, а $-4.33 < -\frac{5}{3}$, этот корень является посторонним.

Таким образом, решением уравнения является только один корень.

Ответ: $x=-1$.