Номер 137, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 137, страница 422.

Условие.

137 a) $\frac{|x|-1}{\sqrt{17x^2+8-5}} = \frac{1}{3};$

Б) $\frac{|x|-1}{\sqrt{7x^2+2-3}} = \frac{1}{2};$

В) $\frac{|x|-1}{\sqrt{10x^2+6-4}} = \frac{1}{3};$

Г) $\frac{|x|-1}{\sqrt{9x^2+7-4}} = \frac{1}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x| - 1}{\sqrt{17x^2 + 8} - 5} = \frac{1}{3}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

1. $17x^2 + 8 \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$, и следовательно $17x^2 + 8 > 0$.

2. $\sqrt{17x^2 + 8} - 5 \neq 0$.

$\sqrt{17x^2 + 8} \neq 5$

Возведем обе части в квадрат:

$17x^2 + 8 \neq 25$

$17x^2 \neq 17$

$x^2 \neq 1$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$.

Для решения уравнения сделаем замену $y = |x|$. Так как $x^2 = |x|^2$, то $x^2 = y^2$. Учитывая, что $|x| \ge 0$, то и $y \ge 0$. ОДЗ в терминах $y$ будет $y \neq 1$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{y - 1}{\sqrt{17y^2 + 8} - 5} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$3(y - 1) = \sqrt{17y^2 + 8} - 5$

$3y - 3 + 5 = \sqrt{17y^2 + 8}$

$3y + 2 = \sqrt{17y^2 + 8}$

Так как $y \ge 0$, левая часть $3y + 2$ всегда положительна. Можем возвести обе части в квадрат:

$(3y + 2)^2 = 17y^2 + 8$

$9y^2 + 12y + 4 = 17y^2 + 8$

$8y^2 - 12y + 4 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$2y^2 - 3y + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4}$

$y_1 = \frac{3+1}{4} = 1$

$y_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь проверим корни с учетом ОДЗ ($y \neq 1$). Корень $y_1 = 1$ является посторонним, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль.

Остается единственный корень $y_2 = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$|x| = \frac{1}{2}$

Отсюда $x = \frac{1}{2}$ или $x = -\frac{1}{2}$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}$.

б)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x| - 1}{\sqrt{7x^2 + 2} - 3} = \frac{1}{2}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$\sqrt{7x^2 + 2} - 3 \neq 0$

$\sqrt{7x^2 + 2} \neq 3$

$7x^2 + 2 \neq 9$

$7x^2 \neq 7$

$x^2 \neq 1$, то есть $x \neq \pm 1$.

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$ и $y \neq 1$. Уравнение примет вид:

$\frac{y - 1}{\sqrt{7y^2 + 2} - 3} = \frac{1}{2}$

Перекрестно умножим:

$2(y - 1) = \sqrt{7y^2 + 2} - 3$

$2y - 2 + 3 = \sqrt{7y^2 + 2}$

$2y + 1 = \sqrt{7y^2 + 2}$

Возведем в квадрат обе части (левая часть положительна при $y \ge 0$):

$(2y + 1)^2 = 7y^2 + 2$

$4y^2 + 4y + 1 = 7y^2 + 2$

$3y^2 - 4y + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6}$

$y_1 = \frac{4+2}{6} = 1$

$y_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Корень $y_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он посторонний. Остается $y_2 = \frac{1}{3}$.

Обратная замена:

$|x| = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{3}$ или $x = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{3}$.

в)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x| - 1}{\sqrt{10x^2 + 6} - 4} = \frac{1}{3}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$\sqrt{10x^2 + 6} - 4 \neq 0$

$\sqrt{10x^2 + 6} \neq 4$

$10x^2 + 6 \neq 16$

$10x^2 \neq 10$

$x^2 \neq 1$, то есть $x \neq \pm 1$.

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$ и $y \neq 1$. Уравнение примет вид:

$\frac{y - 1}{\sqrt{10y^2 + 6} - 4} = \frac{1}{3}$

Перекрестно умножим:

$3(y - 1) = \sqrt{10y^2 + 6} - 4$

$3y - 3 + 4 = \sqrt{10y^2 + 6}$

$3y + 1 = \sqrt{10y^2 + 6}$

Возведем в квадрат обе части (левая часть положительна при $y \ge 0$):

$(3y + 1)^2 = 10y^2 + 6$

$9y^2 + 6y + 1 = 10y^2 + 6$

$y^2 - 6y + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $y_1=1$ и $y_2=5$.

Корень $y_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он посторонний. Остается $y_2 = 5$.

Обратная замена:

$|x| = 5$

$x = 5$ или $x = -5$.

Ответ: $x = \pm 5$.

г)

Рассмотрим уравнение $\frac{|x| - 1}{\sqrt{9x^2 + 7} - 4} = \frac{1}{2}$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$\sqrt{9x^2 + 7} - 4 \neq 0$

$\sqrt{9x^2 + 7} \neq 4$

$9x^2 + 7 \neq 16$

$9x^2 \neq 9$

$x^2 \neq 1$, то есть $x \neq \pm 1$.

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$ и $y \neq 1$. Уравнение примет вид:

$\frac{y - 1}{\sqrt{9y^2 + 7} - 4} = \frac{1}{2}$

Перекрестно умножим:

$2(y - 1) = \sqrt{9y^2 + 7} - 4$

$2y - 2 + 4 = \sqrt{9y^2 + 7}$

$2y + 2 = \sqrt{9y^2 + 7}$

Возведем в квадрат обе части (левая часть положительна при $y \ge 0$):

$(2(y + 1))^2 = 9y^2 + 7$

$4(y^2 + 2y + 1) = 9y^2 + 7$

$4y^2 + 8y + 4 = 9y^2 + 7$

$5y^2 - 8y + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.

$y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10}$

$y_1 = \frac{8+2}{10} = 1$

$y_2 = \frac{8-2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Корень $y_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он посторонний. Остается $y_2 = \frac{3}{5}$.

Обратная замена:

$|x| = \frac{3}{5}$

$x = \frac{3}{5}$ или $x = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $x = \pm \frac{3}{5}$.