Номер 144, страница 422 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 144, страница 422.

Условие.

144 $\log_{\pi} |x^2 - 1| = \log_{\sqrt{\pi}} |x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы логарифмическое выражение имело смысл, его аргумент должен быть строго положительным. Для данного уравнения $\log_{\pi} |x^2 - 1| = \log_{\sqrt{\pi}} |x|$ имеем два условия:

1) Аргумент первого логарифма: $|x^2 - 1| > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x^2 - 1 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 1$, что означает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2) Аргумент второго логарифма: $|x| > 0$. Это неравенство выполняется, когда $x \neq 0$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Преобразование уравнения к одному основанию

Для решения уравнения необходимо привести логарифмы к общему основанию. Удобно выбрать основание $\pi$. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ для преобразования правой части уравнения:

$\log_{\sqrt{\pi}} |x| = \frac{\log_{\pi} |x|}{\log_{\pi} \sqrt{\pi}}$

Вычислим знаменатель: $\log_{\pi} \sqrt{\pi} = \log_{\pi} (\pi^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_{\pi} \pi = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Подставим полученное значение обратно в выражение для правой части:

$\log_{\sqrt{\pi}} |x| = \frac{\log_{\pi} |x|}{1/2} = 2 \log_{\pi} |x|$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_{\pi} |x^2 - 1| = 2 \log_{\pi} |x|$

3. Решение преобразованного уравнения

Применим свойство логарифма $n \log_a b = \log_a (b^n)$ к правой части:

$2 \log_{\pi} |x| = \log_{\pi} (|x|^2)$

Поскольку $|x|^2 = x^2$, уравнение принимает вид:

$\log_{\pi} |x^2 - 1| = \log_{\pi} (x^2)$

Так как основания логарифмов равны, а логарифмическая функция является взаимно-однозначной (монотонной), мы можем приравнять их аргументы:

$|x^2 - 1| = x^2$

Данное уравнение с модулем равносильно совокупности двух уравнений, учитывая, что правая часть $x^2$ всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$):

Случай а): $x^2 - 1 = x^2$.

Упрощая, получаем $-1 = 0$. Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай б): $x^2 - 1 = -x^2$.

Перенесем члены уравнения: $2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим два возможных корня: $x = \sqrt{\frac{1}{2}}$ и $x = -\sqrt{\frac{1}{2}}$.

Упростим корни: $x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Проверка соответствия корней ОДЗ

Полученные значения $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ необходимо сравнить с ОДЗ ($x \neq 0, x \neq \pm 1$).

Оба корня удовлетворяют этим условиям, следовательно, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.