Номер 150, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 150, страница 423.

Условие.

150 $ \frac{\log_3(-x)}{\log_9(-5x-4)} = 1 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение

Для решения уравнения $$ \frac{\log_3(-x)}{\log_9(-5x - 4)} = 1 $$ необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется следующей системой условий:
1. Аргумент логарифма в числителе должен быть строго положительным: $-x > 0$, что означает $x < 0$.
2. Аргумент логарифма в знаменателе должен быть строго положительным: $-5x - 4 > 0$, что означает $-5x > 4$, или $x < -4/5$.
3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\log_9(-5x - 4) \neq 0$. Это условие выполняется, если аргумент логарифма не равен 1, то есть $-5x - 4 \neq 1$. Отсюда $-5x \neq 5$, и $x \neq -1$.

Объединяя все эти условия ($x < 0$, $x < -4/5$ и $x \neq -1$), получаем итоговую ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -4/5)$.

Теперь приступим к решению уравнения. Для удобства приведем логарифмы к одному основанию. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ и приведем логарифм в знаменателе к основанию 3: $$ \log_9(-5x - 4) = \frac{\log_3(-5x - 4)}{\log_3(9)} = \frac{\log_3(-5x - 4)}{2} $$

Подставим это выражение в исходное уравнение: $$ \frac{\log_3(-x)}{\frac{\log_3(-5x - 4)}{2}} = 1 $$

Упростим полученное выражение: $$ \frac{2\log_3(-x)}{\log_3(-5x - 4)} = 1 $$

В области допустимых значений можно умножить обе части уравнения на знаменатель: $$ 2\log_3(-x) = \log_3(-5x - 4) $$

Используем свойство логарифма $n \cdot \log_b a = \log_b(a^n)$: $$ \log_3((-x)^2) = \log_3(-5x - 4) $$ $$ \log_3(x^2) = \log_3(-5x - 4) $$

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $$ x^2 = -5x - 4 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ x^2 + 5x + 4 = 0 $$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 4. Следовательно, корнями являются: $x_1 = -1$ и $x_2 = -4$.

На последнем шаге проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ.
- Корень $x_1 = -1$ не входит в ОДЗ ($x \neq -1$), так как он обращает знаменатель исходной дроби в ноль. Это посторонний корень.
- Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < -4/5$ и $-4 \neq -1$.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x = -4$.