Номер 153, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 153, страница 423.

Условие.

153 $\sqrt{3} \cos\left(\pi \sqrt{x} \sqrt{\frac{6}{x} - x - 4}\right) + 3 \sin\left(\pi x \sqrt{\frac{6}{x^2} - \frac{4}{x} - 1}\right) = \sqrt{12}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Уравнение содержит квадратные корни и дроби, поэтому должны выполняться следующие условия:

1. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. 2. Знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

Из первого слагаемого: $x > 0$ (из-за $\sqrt{x}$ и $\frac{6}{x}$) $\frac{6}{x} - x - 4 \ge 0$

Из второго слагаемого: $x \ne 0$ (из-за $\frac{6}{x^2}$ и $\frac{4}{x}$) $\frac{6}{x^2} - \frac{4}{x} - 1 \ge 0$

Так как $x>0$, мы можем умножить неравенства на $x$ и $x^2$ соответственно, не меняя знака неравенства: $6 - x^2 - 4x \ge 0 \implies x^2 + 4x - 6 \le 0$ $6 - 4x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + 4x - 6 \le 0$

Оба условия сводятся к системе: $\begin{cases} x > 0 \\ x^2 + 4x - 6 \le 0 \end{cases}$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 6 = 0$: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}$.

Решением неравенства $x^2 + 4x - 6 \le 0$ является промежуток $[-2 - \sqrt{10}, -2 + \sqrt{10}]$. Учитывая условие $x > 0$, получаем ОДЗ: $x \in (0, -2 + \sqrt{10}]$.

Теперь упростим аргументы тригонометрических функций. Для $x>0$: Аргумент косинуса: $\pi\sqrt{x}\sqrt{\frac{6}{x}-x-4} = \pi\sqrt{x\left(\frac{6}{x}-x-4\right)} = \pi\sqrt{6-x^2-4x}$. Аргумент синуса: $\pi x \sqrt{\frac{6}{x^2}-\frac{4}{x}-1} = \pi \sqrt{x^2\left(\frac{6}{x^2}-\frac{4}{x}-1\right)} = \pi\sqrt{6-4x-x^2}$.

Аргументы оказались одинаковыми. Обозначим их через $Y = \pi\sqrt{6-4x-x^2}$. Исходное уравнение принимает вид: $\sqrt{3}\cos(Y) + 3\sin(Y) = \sqrt{12}$

Так как $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, уравнение можно переписать: $\sqrt{3}\cos(Y) + 3\sin(Y) = 2\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$: $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cos(Y) + \frac{3}{2\sqrt{3}}\sin(Y) = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$ $\frac{1}{2}\cos(Y) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(Y) = 1$

Используем формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Уравнение сводится к: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos(Y) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\sin(Y) = 1$ $\cos\left(Y - \frac{\pi}{3}\right) = 1$

Решением этого уравнения является: $Y - \frac{\pi}{3} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $Y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Теперь определим возможные значения $Y$, исходя из ОДЗ. Пусть $f(x) = 6-4x-x^2$. На ОДЗ $x \in (0, -2 + \sqrt{10}]$, функция $f(x)$ убывает (ее вершина в точке $x=-2$, которая левее интервала). Значение на правом конце: $f(-2+\sqrt{10}) = 0$. Значение на левом конце (предел): $\lim_{x\to 0^+} f(x) = 6$. Следовательно, $0 \le f(x) < 6$. Тогда для $Y = \pi\sqrt{f(x)}$ имеем $0 \le Y < \pi\sqrt{6}$.

Найдем целые $k$, удовлетворяющие условию: $0 \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k < \pi\sqrt{6}$ $0 \le \frac{1}{3} + 2k < \sqrt{6}$ Так как $2.4 < \sqrt{6} < 2.5$, имеем: $0 \le \frac{1}{3} + 2k < 2.5$

- При $k=0$: $\frac{1}{3}$ удовлетворяет неравенству $0 \le \frac{1}{3} < \sqrt{6}$. Получаем $Y_1 = \frac{\pi}{3}$. - При $k=1$: $\frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \approx 2.33$. Проверим: $(\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9} = 5.\overline{4} < 6$, значит $\frac{7}{3} < \sqrt{6}$. Это значение подходит. Получаем $Y_2 = \frac{7\pi}{3}$. - При $k \ge 2$ или $k < 0$ значения выходят за рамки допустимого интервала.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $Y = \frac{\pi}{3}$ $\pi\sqrt{6-4x-x^2} = \frac{\pi}{3} \implies \sqrt{6-4x-x^2} = \frac{1}{3}$ $6-4x-x^2 = \frac{1}{9} \implies x^2+4x-6 = -\frac{1}{9} \implies 9x^2+36x-53=0$ $x = \frac{-36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-53)}}{2 \cdot 9} = \frac{-36 \pm \sqrt{1296 + 1908}}{18} = \frac{-36 \pm \sqrt{3204}}{18}$ $\sqrt{3204} = \sqrt{36 \cdot 89} = 6\sqrt{89}$ $x = \frac{-36 \pm 6\sqrt{89}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{89}}{3}$ Корень $x = \frac{-6 - \sqrt{89}}{3}$ отрицателен и не входит в ОДЗ. Корень $x = \frac{-6 + \sqrt{89}}{3}$. Так как $\sqrt{81} < \sqrt{89} < \sqrt{100}$, то $9 < \sqrt{89} < 10$, следовательно, $x > 0$. Проверка на вхождение в ОДЗ: $\frac{-6+\sqrt{89}}{3} \le -2+\sqrt{10} \iff \sqrt{89} \le 3\sqrt{10} = \sqrt{90}$. Неравенство верно. Этот корень подходит.

Случай 2: $Y = \frac{7\pi}{3}$ $\pi\sqrt{6-4x-x^2} = \frac{7\pi}{3} \implies \sqrt{6-4x-x^2} = \frac{7}{3}$ $6-4x-x^2 = \frac{49}{9} \implies x^2+4x-6 = -\frac{49}{9} \implies 9x^2+36x-5=0$ $x = \frac{-36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5)}}{18} = \frac{-36 \pm \sqrt{1296 + 180}}{18} = \frac{-36 \pm \sqrt{1476}}{18}$ $\sqrt{1476} = \sqrt{36 \cdot 41} = 6\sqrt{41}$ $x = \frac{-36 \pm 6\sqrt{41}}{18} = \frac{-6 \pm \sqrt{41}}{3}$ Корень $x = \frac{-6 - \sqrt{41}}{3}$ отрицателен. Корень $x = \frac{-6 + \sqrt{41}}{3}$. Так как $\sqrt{36} < \sqrt{41} < \sqrt{49}$, то $6 < \sqrt{41} < 7$, следовательно, $x > 0$. Проверка на вхождение в ОДЗ: $\frac{-6+\sqrt{41}}{3} \le -2+\sqrt{10} \iff \sqrt{41} \le 3\sqrt{10} = \sqrt{90}$. Неравенство верно. Этот корень тоже подходит.

Ответ: $\frac{\sqrt{41}-6}{3}; \frac{\sqrt{89}-6}{3}$