Номер 154, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 154, страница 423.

Условие.

154 $4x - 3|x - 1| = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим уравнение $4x - 3|x - 1| = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $ \begin{cases} 5x + 14 \ge 0 \\ 5x - 14 \ge 0 \end{cases} $ Решая систему неравенств, получаем: $ \begin{cases} 5x \ge -14 \\ 5x \ge 14 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2.8 \\ x \ge 2.8 \end{cases} $ Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ge 2.8$.

2. Упрощение уравнения

На найденной ОДЗ ($x \ge 2.8$) выражение под знаком модуля $x - 1$ всегда положительно, так как $x - 1 \ge 2.8 - 1 = 1.8 > 0$. Следовательно, $|x - 1| = x - 1$.

Подставим это в левую часть уравнения: $4x - 3(x - 1) = 4x - 3x + 3 = x + 3$.

Теперь уравнение можно переписать в виде: $x + 3 = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - 1$.

Перенесем свободный член -1 из правой части в левую: $x + 4 = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14}$.

3. Поиск решения

Заметим, что если подкоренные выражения $5x + 14$ и $5x - 14$ будут являться полными квадратами, то вычисления значительно упростятся. Попробуем найти такое значение $x$, при котором это возможно.

Пусть $5x + 14 = m^2$ и $5x - 14 = k^2$ для некоторых целых неотрицательных $m$ и $k$. Вычтем второе равенство из первого: $(5x + 14) - (5x - 14) = m^2 - k^2$ $28 = m^2 - k^2$ $28 = (m - k)(m + k)$.

Поскольку $x \ge 2.8$, то $5x+14 > 5x-14 \ge 0$, откуда следует, что $m > k \ge 0$. Так как $m$ и $k$ — целые, то множители $(m-k)$ и $(m+k)$ также являются целыми. Их произведение равно 28, поэтому они должны иметь одинаковую четность (оба четные).

Рассмотрим пары натуральных множителей числа 28: (1, 28), (2, 14), (4, 7). Единственная пара, состоящая из двух четных чисел, — это (2, 14).

Составим систему уравнений: $ \begin{cases} m - k = 2 \\ m + k = 14 \end{cases} $ Складывая уравнения системы, получаем $2m = 16$, откуда $m = 8$. Подставляя $m=8$ в любое из уравнений, находим $k=6$.

Теперь найдем $x$ из условия $5x + 14 = m^2$: $5x + 14 = 8^2 = 64$ $5x = 50$ $x = 10$.

4. Проверка

Найденное значение $x=10$ удовлетворяет ОДЗ ($10 \ge 2.8$). Подставим $x=10$ в исходное уравнение для проверки.

Левая часть: $4(10) - 3|10 - 1| = 40 - 3|9| = 40 - 3 \cdot 9 = 40 - 27 = 13$.

Правая часть: $4\sqrt{5(10) + 14} - 3\sqrt{5(10) - 14} - 1 = 4\sqrt{64} - 3\sqrt{36} - 1 = 4 \cdot 8 - 3 \cdot 6 - 1 = 32 - 18 - 1 = 13$.

Так как левая и правая части равны ($13 = 13$), то $x = 10$ является корнем уравнения.

5. Единственность решения

Чтобы доказать, что это единственный корень, рассмотрим функцию $f(x) = 4\sqrt{5x + 14} - 3\sqrt{5x - 14} - x - 4$ на ОДЗ $x \ge 2.8$. Решения уравнения соответствуют корням $f(x)=0$.

Найдем производную: $f'(x) = 4 \cdot \frac{5}{2\sqrt{5x+14}} - 3 \cdot \frac{5}{2\sqrt{5x-14}} - 1 = \frac{10}{\sqrt{5x+14}} - \frac{7.5}{\sqrt{5x-14}} - 1$.

Можно показать, что $f'(x) < 0$ для всех $x \ge 2.8$. Максимум этой производной отрицателен (он равен примерно $-0.86$). Поскольку производная всегда отрицательна, функция $f(x)$ является строго убывающей на всей области определения.

Строго убывающая функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Так как мы нашли решение $x=10$, оно является единственным.

Ответ: 10.