Номер 158, страница 423 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 158, страница 423.

Условие.

158 a) $log_{sin x}(3 \sin x - \cos x) = 0;$

б) $\sqrt[3]{\frac{2+x}{x}} - \sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_{\sin x}(3\sin x - \cos x) = 0$

Для решения логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Получаем систему неравенств:
$ \begin{cases} \sin x > 0 \\ \sin x \neq 1 \\ 3\sin x - \cos x > 0 \end{cases} $

По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Применим это к нашему уравнению:
$3\sin x - \cos x = (\sin x)^0$
Поскольку по ОДЗ $\sin x > 0$ и $\sin x \neq 1$, то $(\sin x)^0 = 1$.
Получаем тригонометрическое уравнение:
$3\sin x - \cos x = 1$

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $a\sin x + b\cos x = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.
$\frac{3}{\sqrt{10}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{10}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{10}}$
Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Это возможно, так как $(\frac{3}{\sqrt{10}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{10}})^2 = \frac{9}{10} + \frac{1}{10} = 1$. Уравнение принимает вид:
$\cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = \sin \alpha$
$\sin(x - \alpha) = \sin \alpha$

Решения этого уравнения имеют две серии:
1) $x - \alpha = \alpha + 2\pi k \Rightarrow x = 2\alpha + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $x - \alpha = \pi - \alpha + 2\pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь проверим найденные решения на соответствие ОДЗ.
Для серии $x = \pi + 2\pi k$:
$\sin x = \sin(\pi + 2\pi k) = \sin(\pi) = 0$. Это противоречит условию ОДЗ $\sin x > 0$. Следовательно, эта серия решений не подходит.
Для серии $x = 2\alpha + 2\pi k$:
Проверим условия ОДЗ:
$\sin x = \sin(2\alpha + 2\pi k) = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
1. $\sin x = \frac{3}{5} > 0$ — условие выполнено.
2. $\sin x = \frac{3}{5} \neq 1$ — условие выполнено.
3. $3\sin x - \cos x = 1 > 0$ — условие выполнено, так как мы решали именно это уравнение.
Таким образом, решениями являются $x = 2\alpha + 2\pi k$, где $\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$.
Так как $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$, то $\alpha = \arctan\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $x = 2\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt[3]{\frac{2+x}{x}} - \sqrt[3]{\frac{2-6x}{x}} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Преобразуем подкоренные выражения:
$\sqrt[3]{\frac{2}{x} + 1} - \sqrt[3]{\frac{2}{x} - 6} = 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{2}{x}$. Уравнение примет вид:
$\sqrt[3]{y+1} - \sqrt[3]{y-6} = 1$

Для решения этого иррационального уравнения введем еще две переменные:
$a = \sqrt[3]{y+1}$ и $b = \sqrt[3]{y-6}$.
Тогда исходное уравнение можно записать как $a - b = 1$.
Возведем $a$ и $b$ в куб: $a^3 = y+1$ и $b^3 = y-6$.
Вычтем из первого выражения второе: $a^3 - b^3 = (y+1) - (y-6) = 7$.
Получили систему уравнений:
$ \begin{cases} a - b = 1 \\ a^3 - b^3 = 7 \end{cases} $

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Подставим известные значения: $7 = 1 \cdot (a^2+ab+b^2)$, откуда $a^2+ab+b^2 = 7$.
Из первого уравнения системы выразим $a = b+1$ и подставим в полученное выражение:
$(b+1)^2 + (b+1)b + b^2 = 7$
$(b^2+2b+1) + (b^2+b) + b^2 = 7$
$3b^2+3b+1 = 7$
$3b^2+3b-6 = 0$
$b^2+b-2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $b_1 = 1$, $b_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, а затем $x$.
1) Если $b = 1$:
$1 = \sqrt[3]{y-6} \Rightarrow 1^3 = y-6 \Rightarrow y = 7$.
Возвращаемся к замене $y = \frac{2}{x}$:
$7 = \frac{2}{x} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{7}$.
2) Если $b = -2$:
$-2 = \sqrt[3]{y-6} \Rightarrow (-2)^3 = y-6 \Rightarrow -8 = y-6 \Rightarrow y = -2$.
Возвращаемся к замене $y = \frac{2}{x}$:
$-2 = \frac{2}{x} \Rightarrow x_2 = \frac{2}{-2} = -1$.

Оба найденных корня ($x_1 = 2/7$ и $x_2 = -1$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $\{-1; \frac{2}{7}\}$.