Номер 162, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 162, страница 424.

Условие.

162 a) $x^3 - 3x - 2 < 0;$

б) $x^3 - 3x^2 + 4 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $x^3 - 3x - 2 < 0$

Для решения данного кубического неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^3 - 3x - 2 = 0$. Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет целый корень, то он является делителем свободного члена. В данном случае, делителями свободного члена $-2$ являются числа $\pm1, \pm2$.

Выполним проверку подстановкой:
При $x = -1$: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Следовательно, $x_1 = -1$ является корнем.
При $x = 2$: $2^3 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Следовательно, $x_2 = 2$ является корнем.

Зная один корень ($x=-1$), мы можем разложить многочлен на множители, разделив его на $(x+1)$. В результате деления (например, столбиком или по схеме Горнера) получаем:
$x^3 - 3x - 2 = (x+1)(x^2 - x - 2)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - x - 2 = 0$. Его корни — это $x=2$ и $x=-1$.
Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

Полное разложение многочлена на множители выглядит так:
$x^3 - 3x - 2 = (x+1)(x+1)(x-2) = (x+1)^2(x-2)$.

Исходное неравенство можно переписать в виде:
$(x+1)^2(x-2) < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отмечаем точки, в которых множители обращаются в ноль: $x=-1$ и $x=2$.
Выражение $(x+1)^2$ всегда неотрицательно (то есть $\ge 0$). Поскольку неравенство строгое ($< 0$), то равенство нулю исключается, значит $x \ne -1$.
При $x \ne -1$ множитель $(x+1)^2$ всегда положителен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:
$x - 2 < 0$, что дает $x < 2$.

Итак, мы имеем систему из двух условий: $x < 2$ и $x \ne -1$.
Решением является объединение интервалов $(-\infty; -1) \cup (-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2)$.

б) $x^3 - 3x^2 + 4 > 0$

Аналогично предыдущему пункту, найдем корни уравнения $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$. Целые корни ищем среди делителей свободного члена $4$: $\pm1, \pm2, \pm4$.

Проверим их:
При $x = -1$: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Следовательно, $x_1 = -1$ является корнем.
При $x = 2$: $2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$. Следовательно, $x_2 = 2$ является корнем.

Разделив многочлен $x^3 - 3x^2 + 4$ на $(x+1)$, получим:
$x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x^2 - 4x + 4)$.

Квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности:
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

Таким образом, полное разложение многочлена на множители:
$x^3 - 3x^2 + 4 = (x+1)(x-2)^2$.

Неравенство принимает вид:
$(x+1)(x-2)^2 > 0$.

Решим это неравенство. Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Поскольку неравенство строгое ($> 0$), то равенство нулю исключается, значит $x \ne 2$.
При $x \ne 2$ множитель $(x-2)^2$ всегда положителен. Чтобы произведение было положительным, необходимо, чтобы первый множитель был положительным:
$x+1 > 0$, что дает $x > -1$.

Объединяя условия $x > -1$ и $x \ne 2$, получаем решение в виде объединения двух интервалов: $(-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.