Номер 166, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 166, страница 424.

Условие.

166 а) $\frac{5}{2-x} > 1 + \frac{3}{x+2}$;

б) $\frac{5}{x+4} < 1 + \frac{1}{4-x}$;

В) $\frac{2}{3-x} > 1 - \frac{3}{x+2}$;

Г) $\frac{7}{x+5} < 1 + \frac{2}{5-x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{5}{2-x} > 1 + \frac{3}{x+2}$

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{5}{2-x} - 1 - \frac{3}{x+2} > 0$

2. Область допустимых значений (ОДЗ): $2-x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю $(2-x)(x+2)$:

$\frac{5(x+2) - 1(2-x)(x+2) - 3(2-x)}{(2-x)(x+2)} > 0$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{5x + 10 - (4 - x^2) - (6 - 3x)}{(2-x)(x+2)} > 0$

$\frac{5x + 10 - 4 + x^2 - 6 + 3x}{(2-x)(x+2)} > 0$

$\frac{x^2 + 8x}{(2-x)(x+2)} > 0$

5. Решим полученное неравенство методом интервалов. Вынесем знак минус из знаменателя:

$\frac{x(x+8)}{-(x-2)(x+2)} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x(x+8)}{(x-2)(x+2)} < 0$

6. Найдем нули числителя ($x=0, x=-8$) и нули знаменателя ($x=2, x=-2$).

7. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения на интервалах. Точки -8, -2, 0, 2 разбивают ось на 5 интервалов. Нам нужны интервалы, где выражение отрицательно.

Получаем решение: $x \in (-8, -2) \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-8, -2) \cup (0, 2)$.

б) $\frac{5}{x+4} < 1 + \frac{1}{4-x}$

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{5}{x+4} - 1 - \frac{1}{4-x} < 0$

2. ОДЗ: $x+4 \neq 0$ и $4-x \neq 0$, следовательно $x \neq -4$ и $x \neq 4$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x+4)(4-x) = -(x+4)(x-4)$:

$\frac{5(4-x) - 1(x+4)(4-x) - 1(x+4)}{(x+4)(4-x)} < 0$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{20 - 5x - (16 - x^2) - x - 4}{(x+4)(4-x)} < 0$

$\frac{20 - 5x - 16 + x^2 - x - 4}{(x+4)(4-x)} < 0$

$\frac{x^2 - 6x}{-(x+4)(x-4)} < 0$

5. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - 6x}{(x+4)(x-4)} > 0$

$\frac{x(x-6)}{(x+4)(x-4)} > 0$

6. Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0, x=6$. Нули знаменателя: $x=-4, x=4$.

7. Отметим точки -4, 0, 4, 6 на числовой оси. Определим знаки на интервалах. Нам нужны интервалы, где выражение положительно.

Получаем решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, 4) \cup (6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, 4) \cup (6, +\infty)$.

в) $\frac{2}{3-x} > 1 - \frac{3}{x+2}$

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2}{3-x} - 1 + \frac{3}{x+2} > 0$

2. ОДЗ: $3-x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, следовательно $x \neq 3$ и $x \neq -2$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю $(3-x)(x+2)$:

$\frac{2(x+2) - 1(3-x)(x+2) + 3(3-x)}{(3-x)(x+2)} > 0$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{2x+4 - (3x+6-x^2-2x) + 9-3x}{(3-x)(x+2)} > 0$

$\frac{2x+4 - (x+6-x^2) + 9-3x}{(3-x)(x+2)} > 0$

$\frac{2x+4 - x-6+x^2 + 9-3x}{(3-x)(x+2)} > 0$

$\frac{x^2 - 2x + 7}{(3-x)(x+2)} > 0$

5. Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 7$. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то числитель $x^2 - 2x + 7$ положителен при любых значениях $x$.

6. Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$(3-x)(x+2) > 0$

7. Решим это квадратное неравенство. Его нули: $x=3$ и $x=-2$. Ветви параболы $y=(3-x)(x+2)$ направлены вниз. Значит, выражение положительно между корнями.

Получаем решение: $x \in (-2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, 3)$.

г) $\frac{7}{x+5} < 1 + \frac{2}{5-x}$

1. Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{7}{x+5} - 1 - \frac{2}{5-x} < 0$

2. ОДЗ: $x+5 \neq 0$ и $5-x \neq 0$, следовательно $x \neq -5$ и $x \neq 5$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x+5)(5-x) = -(x+5)(x-5)$:

$\frac{7(5-x) - 1(x+5)(5-x) - 2(x+5)}{(x+5)(5-x)} < 0$

4. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{35 - 7x - (25-x^2) - 2x - 10}{(x+5)(5-x)} < 0$

$\frac{35 - 7x - 25 + x^2 - 2x - 10}{(x+5)(5-x)} < 0$

$\frac{x^2 - 9x}{-(x+5)(x-5)} < 0$

5. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{x^2 - 9x}{(x+5)(x-5)} > 0$

$\frac{x(x-9)}{(x+5)(x-5)} > 0$

6. Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0, x=9$. Нули знаменателя: $x=-5, x=5$.

7. Отметим точки -5, 0, 5, 9 на числовой оси. Определим знаки на интервалах. Нам нужны интервалы, где выражение положительно.

Получаем решение: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, 5) \cup (9, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, 5) \cup (9, +\infty)$.