Номер 169, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 169, страница 424.

Условие.

169 a) $ \frac{1}{x^2 + 8x - 9} \ge \frac{1}{3x^2 - 5x + 2} $;

б) $ \frac{1}{3x^2 + 11x + 10} \ge \frac{1}{2 - x - x^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\frac{1}{x^2 + 8x - 9} \ge \frac{1}{3x^2 - 5x + 2}$.

1. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{1}{x^2 + 8x - 9} - \frac{1}{3x^2 - 5x + 2} \ge 0$

2. Разложим знаменатели на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Для $x^2 + 8x - 9 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Тогда $x^2 + 8x - 9 = (x - 1)(x + 9)$.

Для $3x^2 - 5x + 2 = 0$:
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
Корни $x_1 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.
Тогда $3x^2 - 5x + 2 = 3(x - \frac{2}{3})(x - 1) = (3x - 2)(x - 1)$.

3. Подставим разложенные знаменатели в неравенство:

$\frac{1}{(x - 1)(x + 9)} - \frac{1}{(3x - 2)(x - 1)} \ge 0$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 9)(3x - 2)$:

$\frac{3x - 2 - (x + 9)}{(x - 1)(x + 9)(3x - 2)} \ge 0$

$\frac{3x - 2 - x - 9}{(x - 1)(x + 9)(3x - 2)} \ge 0$

$\frac{2x - 11}{(x - 1)(x + 9)(3x - 2)} \ge 0$

5. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
$2x - 11 = 0 \Rightarrow x = 5.5$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

Отметим эти точки на числовой оси. Точки из знаменателя $(-9, \frac{2}{3}, 1)$ будут выколотыми, а точка из числителя $(5.5)$ — закрашенной, так как неравенство нестрогое.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $x > 5.5$ (например, $x = 10$): $\frac{+}{(+)(+)(+)} = +$
- При $1 < x < 5.5$ (например, $x = 2$): $\frac{-}{(+)(+)(+)} = -$
- При $\frac{2}{3} < x < 1$ (например, $x = 0.8$): $\frac{-}{(-)(+)(+)} = +$
- При $-9 < x < \frac{2}{3}$ (например, $x = 0$): $\frac{-}{(-)(+)(-)} = -$
- При $x < -9$ (например, $x = -10$): $\frac{-}{(-)(-)(-)} = +$

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -9) \cup (\frac{2}{3}; 1) \cup [5.5; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{1}{3x^2 + 11x + 10} \ge \frac{1}{2 - x - x^2}$.

1. Перенесем все члены в левую часть и преобразуем вторую дробь:

$\frac{1}{3x^2 + 11x + 10} - \frac{1}{-(x^2 + x - 2)} \ge 0$

$\frac{1}{3x^2 + 11x + 10} + \frac{1}{x^2 + x - 2} \ge 0$

2. Разложим знаменатели на множители.

Для $3x^2 + 11x + 10 = 0$:
Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1$.
Корни $x_1 = \frac{-11 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$ и $x_2 = \frac{-11 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.
Тогда $3x^2 + 11x + 10 = 3(x + 2)(x + \frac{5}{3}) = (x + 2)(3x + 5)$.

Для $x^2 + x - 2 = 0$: по теореме Виета корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Тогда $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$.

3. Подставим разложенные знаменатели в неравенство:

$\frac{1}{(x + 2)(3x + 5)} + \frac{1}{(x - 1)(x + 2)} \ge 0$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(x + 2)(3x + 5)(x - 1)$:

$\frac{x - 1 + (3x + 5)}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \ge 0$

$\frac{x - 1 + 3x + 5}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \ge 0$

$\frac{4x + 4}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \ge 0$

$\frac{4(x + 1)}{(x + 2)(3x + 5)(x - 1)} \ge 0$

5. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
$3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Отметим эти точки на числовой оси: $-2, -\frac{5}{3}, -1, 1$. Точки из знаменателя $(-2, -\frac{5}{3}, 1)$ будут выколотыми, а точка из числителя $(-1)$ — закрашенной.

Определим знаки выражения на каждом интервале:
- При $x > 1$ (например, $x = 2$): $\frac{+}{(+)(+)(+)} = +$
- При $-1 < x < 1$ (например, $x = 0$): $\frac{+}{(+)(+)(-)} = -$
- При $-\frac{5}{3} < x < -1$ (например, $x = -1.5$): $\frac{-}{(+)(+)(-)} = +$
- При $-2 < x < -\frac{5}{3}$ (например, $x = -1.8$): $\frac{-}{(+)(-)(-)} = -$
- При $x < -2$ (например, $x = -3$): $\frac{-}{(-)(-)(-)} = +$

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-\frac{5}{3}; -1] \cup (1; +\infty)$.