Номер 175, страница 424 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 175, страница 424.

Условие.

175 $\sqrt{x^2 - 8x + 12} \ge x - 5$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем. Решение исходного неравенства будет объединением решений этих двух систем.

$\sqrt{x^2 - 8x + 12} \ge x - 5 \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x - 5 < 0 \\ x^2 - 8x + 12 \ge 0 \end{cases} \\ \begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 8x + 12 \ge (x - 5)^2 \end{cases} \end{array} \right.$

1. Решим первую систему:

$\begin{cases} x - 5 < 0 \\ x^2 - 8x + 12 \ge 0 \end{cases}$

Первое неравенство: $x < 5$.

Второе неравенство: $x^2 - 8x + 12 \ge 0$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 12 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Так как парабола $y = x^2 - 8x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $x < 5$ и $x \in (-\infty, 2] \cup [6, \infty)$. Пересечением этих множеств является промежуток $(-\infty, 2]$.

2. Решим вторую систему:

$\begin{cases} x - 5 \ge 0 \\ x^2 - 8x + 12 \ge (x - 5)^2 \end{cases}$

Первое неравенство: $x \ge 5$.

Второе неравенство:
$x^2 - 8x + 12 \ge x^2 - 10x + 25$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены в правую:
$-8x + 10x \ge 25 - 12$
$2x \ge 13$
$x \ge \frac{13}{2}$
$x \ge 6.5$

Найдем пересечение решений системы: $x \ge 5$ и $x \ge 6.5$. Пересечением является промежуток $[6.5, \infty)$.

3. Объединение решений

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений двух систем:

$(-\infty, 2] \cup [6.5, \infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup [6.5, \infty)$.