Номер 178, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 178, страница 425.

Условие.

178 a) $\log_{0,4}(3,5 - 5x) > 2 \log_{0,4} 0,2 - 1;$

б) $1 + 2 \log_2 0,3 > \log_2(1,5 - 3x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\log_{0,4}(3,5 - 5x) > 2\log_{0,4}0,2 - 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$3,5 - 5x > 0$

$-5x > -3,5$

$5x < 3,5$

$x < \frac{3,5}{5}$

$x < 0,7$

2. Преобразуем правую часть неравенства, приведя ее к логарифму по основанию 0,4.

Используем свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a a = 1$:

$2\log_{0,4}0,2 - 1 = \log_{0,4}(0,2^2) - \log_{0,4}0,4 = \log_{0,4}0,04 - \log_{0,4}0,4$

Используем свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_{0,4}0,04 - \log_{0,4}0,4 = \log_{0,4}\left(\frac{0,04}{0,4}\right) = \log_{0,4}0,1$

3. Получаем неравенство:

$\log_{0,4}(3,5 - 5x) > \log_{0,4}0,1$

Так как основание логарифма $0,4 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный:

$3,5 - 5x < 0,1$

$-5x < 0,1 - 3,5$

$-5x < -3,4$

$5x > 3,4$

$x > \frac{3,4}{5}$

$x > 0,68$

4. Совместим полученное решение с ОДЗ ($x < 0,7$):

$\begin{cases} x > 0,68 \\ x < 0,7 \end{cases}$

Следовательно, $0,68 < x < 0,7$.

Ответ: $(0,68; 0,7)$

б) $1 + 2\log_2 0,3 > \log_2(1,5 - 3x)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$1,5 - 3x > 0$

$-3x > -1,5$

$3x < 1,5$

$x < \frac{1,5}{3}$

$x < 0,5$

2. Преобразуем левую часть неравенства к логарифму по основанию 2.

Используем свойства логарифмов $\log_a a = 1$ и $n\log_a b = \log_a b^n$:

$1 + 2\log_2 0,3 = \log_2 2 + \log_2(0,3^2) = \log_2 2 + \log_2 0,09$

Используем свойство $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$:

$\log_2 2 + \log_2 0,09 = \log_2(2 \cdot 0,09) = \log_2 0,18$

3. Получаем неравенство:

$\log_2 0,18 > \log_2(1,5 - 3x)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства сохраняется:

$0,18 > 1,5 - 3x$

$3x > 1,5 - 0,18$

$3x > 1,32$

$x > \frac{1,32}{3}$

$x > 0,44$

4. Совместим полученное решение с ОДЗ ($x < 0,5$):

$\begin{cases} x > 0,44 \\ x < 0,5 \end{cases}$

Следовательно, $0,44 < x < 0,5$.

Ответ: $(0,44; 0,5)$