Номер 183, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 183, страница 425.

Условие.

$183 \log_3(x^3 + x^2 - 2x) - 2\log_9(x^2 - x) < \log_3 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное неравенство: $ \log_{3}(x^3 + x^2 - 2x) - 2\log_{9}(x^2 - x) < \log_{3}5 $.

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, поэтому получаем систему неравенств:

$ \begin{cases} x^3 + x^2 - 2x > 0 \\ x^2 - x > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$ x^3 + x^2 - 2x > 0 $

$ x(x^2 + x - 2) > 0 $

$ x(x+2)(x-1) > 0 $

Используя метод интервалов, находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знаки выражения на каждом интервале:

• При $ x \in (1, +\infty) $: $ x(x+2)(x-1) > 0 $
• При $ x \in (0, 1) $: $ x(x+2)(x-1) < 0 $
• При $ x \in (-2, 0) $: $ x(x+2)(x-1) > 0 $
• При $ x \in (-\infty, -2) $: $ x(x+2)(x-1) < 0 $

Решением первого неравенства является объединение интервалов $ (-2, 0) \cup (1, +\infty) $.

Теперь решим второе неравенство:

$ x^2 - x > 0 $

$ x(x-1) > 0 $

Корни этого выражения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Парабола $y = x^2-x$ ветвями вверх, поэтому выражение положительно вне корней. Решением является $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) $.

Найдем пересечение решений обоих неравенств для получения итоговой ОДЗ:

$ ((-2, 0) \cup (1, +\infty)) \cap ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)) = (-2, 0) \cup (1, +\infty) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty) $.

Теперь преобразуем исходное неравенство, приведя логарифмы к одному основанию 3. Используем формулу перехода к новому основанию: $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $.

$ 2\log_{9}(x^2 - x) = 2\log_{3^2}(x^2 - x) = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_{3}(x^2 - x) = \log_{3}(x^2 - x) $.

Подставим это в исходное неравенство:

$ \log_{3}(x^3 + x^2 - 2x) - \log_{3}(x^2 - x) < \log_{3}5 $

Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $:

$ \log_{3}\left(\frac{x^3 + x^2 - 2x}{x^2 - x}\right) < \log_{3}5 $

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_3 t$ является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для аргументов логарифмов, сохранив знак неравенства:

$ \frac{x^3 + x^2 - 2x}{x^2 - x} < 5 $

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

$ \frac{x(x^2 + x - 2)}{x(x-1)} < 5 $

$ \frac{x(x+2)(x-1)}{x(x-1)} < 5 $

На ОДЗ ($ x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty) $) $x \neq 0$ и $x \neq 1$, поэтому можно сократить дробь на $x$ и $(x-1)$:

$ x + 2 < 5 $

$ x < 3 $

Наконец, найдем пересечение полученного решения $ x < 3 $ с ОДЗ $ x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty) $.

Пересечение множества $ (-\infty, 3) $ с множеством $ (-2, 0) \cup (1, +\infty) $ дает нам итоговый результат:

$ x \in (-2, 0) \cup (1, 3) $.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, 3)$