Номер 190, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 190, страница 426.

Условие.

Решите неравенство (190–193):

190 а) $2x > |x| + 1$;

б) $x^2 - 6 \ge |x|$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $2x > |x| + 1$

Для решения этого неравенства необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака подмодульного выражения.

1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$2x > x + 1$

Вычтем $x$ из обеих частей:

$x > 1$

Решение $x > 1$ удовлетворяет исходному условию $x \ge 0$. Таким образом, $x \in (1; +\infty)$ является частью решения.

2. Пусть $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$2x > -x + 1$

Прибавим $x$ к обеим частям:

$3x > 1$

Разделим на 3:

$x > \frac{1}{3}$

Это решение должно удовлетворять исходному условию $x < 0$. Поскольку не существует значений $x$, которые одновременно меньше 0 и больше $\frac{1}{3}$, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) $x^2 - 6 \ge |x|$

Данное неравенство содержит $|x|$. Удобно использовать свойство $x^2 = |x|^2$ и сделать замену переменной. Пусть $t = |x|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, $t \ge 0$.

Подставим $t$ в неравенство:

$t^2 - 6 \ge t$

Перенесем все члены в левую часть:

$t^2 - t - 6 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения или теорему Виета, получаем:

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

Парабола $y = t^2 - t - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 6 \ge 0$ выполняется при $t \le -2$ или $t \ge 3$.

Теперь учтем условие $t \ge 0$. Из двух полученных промежутков этому условию удовлетворяет только $t \ge 3$.

Выполним обратную замену, возвращаясь к переменной $x$:

$|x| \ge 3$

Это неравенство равносильно совокупности:

$x \ge 3$ или $x \le -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$.