Номер 188, страница 425 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 188, страница 425.

Условие.

188 a) $16 \sin^2 x + \operatorname{ctg}^2 x \le 7$;

б) $16 \sin^2 x + 9 \operatorname{ctg}^2 x \le 15.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $16\sin^2 x + \cot^2 x \le 7$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства определяется условием существования котангенса: $\sin x \ne 0$, что означает $x \ne \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем основное тригонометрическое тождество и определение котангенса: $\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$16\sin^2 x + \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \le 7$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2 x$. Учитывая ОДЗ ($\sin x \ne 0$) и свойства синуса ($0 \le \sin^2 x \le 1$), получаем, что для переменной $t$ справедливо условие $0 < t \le 1$.

Неравенство принимает вид:

$16t + \frac{1-t}{t} \le 7$

Поскольку $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:

$16t^2 + 1 - t \le 7t$

Перенесем все члены в левую часть:

$16t^2 - 8t + 1 \le 0$

Левая часть является полным квадратом:

$(4t - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(4t - 1)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(4t - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(4t - 1)^2 = 0$.

$4t - 1 = 0 \implies t = \frac{1}{4}$

Это значение $t = 1/4$ удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sin^2 x = \frac{1}{4}$

Отсюда получаем два случая:

$\sin x = \frac{1}{2}$ или $\sin x = -\frac{1}{2}$

Решения этих уравнений можно объединить в одну серию. Если $\sin x = \pm \frac{1}{2}$, то $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ ($x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $16\sin^2 x + 9\cot^2 x \le 15$

ОДЗ: $\sin x \ne 0 \implies x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем неравенство, используя $\cot^2 x = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$:

$16\sin^2 x + 9 \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \le 15$

Сделаем замену $t = \sin^2 x$, где $0 < t \le 1$.

$16t + \frac{9(1-t)}{t} \le 15$

Умножим на $t > 0$:

$16t^2 + 9(1-t) \le 15t$

$16t^2 + 9 - 9t \le 15t$

Перенесем все члены влево:

$16t^2 - 24t + 9 \le 0$

Левая часть также является полным квадратом:

$(4t - 3)^2 \le 0$

Как и в предыдущем пункте, квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство выполняется только при условии равенства нулю:

$(4t - 3)^2 = 0 \implies 4t - 3 = 0 \implies t = \frac{3}{4}$

Это значение удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.

Выполняем обратную замену:

$\sin^2 x = \frac{3}{4}$

Отсюда:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этих уравнений можно объединить в одну серию: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.