Номер 195, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 195, страница 426.

Условие.

195 a) $\frac{15 - |7x + 8|}{3x^2 - 14x + 17} > 0;$

б) $\frac{13 - |6x + 7|}{5x^2 - 11x + 7} > 0;$

В) $\frac{18 - |4x + 5|}{4x^2 - 13x + 11} > 0;$

Г) $\frac{17 - |11x + 6|}{6x^2 - 15x + 10} > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{15 - |7x + 8|}{3x^2 - 14x + 17} > 0$.
Сначала рассмотрим знаменатель дроби: $3x^2 - 14x + 17$. Это квадратный трехчлен. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 17 = 196 - 204 = -8$.
Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, то знаменатель $3x^2 - 14x + 17$ положителен при любых значениях $x$.
Поскольку знаменатель всегда положителен, дробь будет положительной тогда и только тогда, когда положителен числитель:
$15 - |7x + 8| > 0$
$|7x + 8| < 15$
Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:
$-15 < 7x + 8 < 15$
Вычтем 8 из всех частей неравенства:
$-15 - 8 < 7x < 15 - 8$
$-23 < 7x < 7$
Разделим все части неравенства на 7:
$-\frac{23}{7} < x < 1$
Ответ: $x \in (-\frac{23}{7}; 1)$.

б) Решим неравенство $\frac{13 - |6x + 7|}{5x^2 - 11x + 7} > 0$.
Рассмотрим знаменатель $5x^2 - 11x + 7$. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 121 - 140 = -19$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 5 > 0$, то знаменатель $5x^2 - 11x + 7$ всегда положителен.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству для числителя:
$13 - |6x + 7| > 0$
$|6x + 7| < 13$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-13 < 6x + 7 < 13$
Вычтем 7 из всех частей:
$-13 - 7 < 6x < 13 - 7$
$-20 < 6x < 6$
Разделим все части на 6:
$-\frac{20}{6} < x < \frac{6}{6}$
$-\frac{10}{3} < x < 1$
Ответ: $x \in (-\frac{10}{3}; 1)$.

в) Решим неравенство $\frac{18 - |4x + 5|}{4x^2 - 13x + 11} > 0$.
Рассмотрим знаменатель $4x^2 - 13x + 11$. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 169 - 176 = -7$.
Поскольку $D < 0$ и старший коэффициент $a = 4 > 0$, знаменатель $4x^2 - 13x + 11$ всегда положителен.
Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству для числителя:
$18 - |4x + 5| > 0$
$|4x + 5| < 18$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-18 < 4x + 5 < 18$
Вычтем 5 из всех частей:
$-18 - 5 < 4x < 18 - 5$
$-23 < 4x < 13$
Разделим все части на 4:
$-\frac{23}{4} < x < \frac{13}{4}$
Ответ: $x \in (-\frac{23}{4}; \frac{13}{4})$.

г) Решим неравенство $\frac{17 - |11x + 6|}{6x^2 - 15x + 10} > 0$.
Рассмотрим знаменатель $6x^2 - 15x + 10$. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 225 - 240 = -15$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a = 6 > 0$, знаменатель $6x^2 - 15x + 10$ всегда положителен.
Следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству для числителя:
$17 - |11x + 6| > 0$
$|11x + 6| < 17$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-17 < 11x + 6 < 17$
Вычтем 6 из всех частей:
$-17 - 6 < 11x < 17 - 6$
$-23 < 11x < 11$
Разделим все части на 11:
$-\frac{23}{11} < x < 1$
Ответ: $x \in (-\frac{23}{11}; 1)$.