Номер 197, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 197, страница 426.

Условие.

197 а) $ (x-2)(x-3)\sqrt{x-1} \le 0 $;

б) $ (x+2)(x+3)\sqrt{x+11} \le 0 $;

в) $ (x-4)(x+3)\sqrt{x} \ge 0 $;

г) $ (x-8)(x+7)\sqrt{x} \ge 0 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $(x-2)(x-3)\sqrt{x-1} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

2. Неравенство представляет собой произведение трех множителей. Множитель $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$) в своей области определения. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x-1} = 0$.
Это возможно, если $x-1 = 0$, то есть $x = 1$.
Подставим $x=1$ в исходное неравенство:
$(1-2)(1-3)\sqrt{1-1} = (-1)(-2)\cdot 0 = 0$.
Так как $0 \le 0$ — верное неравенство, то $x=1$ является решением.

Случай 2: $\sqrt{x-1} > 0$.
Это возможно, если $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.
В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x-1}$, знак неравенства при этом не изменится:
$(x-2)(x-3) \le 0$.
Решим это квадратное неравенство методом интервалов. Корни выражения $(x-2)(x-3)$ равны $x_1=2$ и $x_2=3$. Графиком функции $y=(x-2)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю между корнями.
Следовательно, решение этого неравенства: $x \in [2, 3]$.
Это решение удовлетворяет условию $x > 1$.

3. Объединим решения из обоих случаев.
Из первого случая мы получили точку $x=1$. Из второго — отрезок $[2, 3]$.
Общее решение: $x \in \{1\} \cup [2, 3]$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, 3]$.

б) $(x+2)(x+3)\sqrt{x+11} \le 0$

1. Найдем ОДЗ:
$x + 11 \ge 0 \implies x \ge -11$.
ОДЗ: $x \in [-11, +\infty)$.

2. Множитель $\sqrt{x+11} \ge 0$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x+11} = 0$.
Это возможно при $x+11=0$, то есть $x = -11$.
Подстановка $x=-11$ в исходное неравенство дает $0 \le 0$, что верно. Значит, $x=-11$ — решение.

Случай 2: $\sqrt{x+11} > 0$.
Это возможно при $x+11 > 0$, то есть $x > -11$.
Разделим неравенство на $\sqrt{x+11}$:
$(x+2)(x+3) \le 0$.
Корни выражения $(x+2)(x+3)$ равны $x_1=-2$ и $x_2=-3$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in [-3, -2]$.
Этот интервал удовлетворяет условию $x > -11$.

3. Объединяем полученные решения.
Решение из первого случая: $x=-11$. Решение из второго: $x \in [-3, -2]$.
Общее решение: $x \in \{-11\} \cup [-3, -2]$.

Ответ: $x \in \{-11\} \cup [-3, -2]$.

в) $(x-4)(x+3)\sqrt{x} \ge 0$

1. Найдем ОДЗ:
$x \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

2. Множитель $\sqrt{x} \ge 0$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x} = 0$.
Это возможно при $x=0$.
Подстановка $x=0$ в исходное неравенство дает $0 \ge 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.

Случай 2: $\sqrt{x} > 0$.
Это возможно при $x > 0$.
Разделим неравенство на $\sqrt{x}$:
$(x-4)(x+3) \ge 0$.
Корни выражения $(x-4)(x+3)$ равны $x_1=4$ и $x_2=-3$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [4, +\infty)$.
Теперь пересечем это решение с условием $x > 0$:
$( (-\infty, -3] \cup [4, +\infty) ) \cap (0, +\infty) = [4, +\infty)$.

3. Объединяем полученные решения.
Решение из первого случая: $x=0$. Решение из второго: $x \in [4, +\infty)$.
Общее решение: $x \in \{0\} \cup [4, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [4, +\infty)$.

г) $(x-8)(x+7)\sqrt{x} \ge 0$

1. Найдем ОДЗ:
$x \ge 0$.
ОДЗ: $x \in [0, +\infty)$.

2. Множитель $\sqrt{x} \ge 0$. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x} = 0$.
Это возможно при $x=0$.
Подстановка $x=0$ в исходное неравенство дает $0 \ge 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.

Случай 2: $\sqrt{x} > 0$.
Это возможно при $x > 0$.
Разделим неравенство на $\sqrt{x}$:
$(x-8)(x+7) \ge 0$.
Корни выражения $(x-8)(x+7)$ равны $x_1=8$ и $x_2=-7$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется при значениях $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Решение: $x \in (-\infty, -7] \cup [8, +\infty)$.
Пересекаем это решение с условием $x > 0$:
$( (-\infty, -7] \cup [8, +\infty) ) \cap (0, +\infty) = [8, +\infty)$.

3. Объединяем полученные решения.
Решение из первого случая: $x=0$. Решение из второго: $x \in [8, +\infty)$.
Общее решение: $x \in \{0\} \cup [8, +\infty)$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [8, +\infty)$.