Номер 198, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 198, страница 426.

Условие.

198 $\sqrt[5]{y^5} \geq \sqrt[4]{y^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения неравенства $\sqrt[5]{y^5} \geq \sqrt[4]{y^4}$ определим область допустимых значений (ОДЗ) и упростим выражения.

1. Область допустимых значений (ОДЗ).Выражение $\sqrt[5]{y^5}$ (корень нечетной степени) определено для любого действительного значения $y$.Выражение $\sqrt[4]{y^4}$ (корень четной степени) определено, когда подкоренное выражение $y^4 \geq 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $y$.Следовательно, ОДЗ для данного неравенства — все действительные числа, то есть $y \in (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение неравенства.Используем свойства корней:

• Для корня нечетной степени $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$. Таким образом, $\sqrt[5]{y^5} = y$.
• Для корня четной степени $n$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Таким образом, $\sqrt[4]{y^4} = |y|$.

После упрощения исходное неравенство принимает вид:$y \geq |y|$.

3. Решение неравенства с модулем.Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $y \geq 0$.При этом условии $|y| = y$. Подставляем в неравенство:$y \geq y$.Это неравенство верно для всех значений $y$, удовлетворяющих условию $y \geq 0$. Решением в этом случае является промежуток $[0; +\infty)$.

Случай 2: $y < 0$.При этом условии $|y| = -y$. Подставляем в неравенство:$y \geq -y$.Прибавим $y$ к обеим частям:$2y \geq 0$.Разделим на 2:$y \geq 0$.Мы получили, что $y$ должен быть больше или равен нулю. Однако, этот случай мы рассматриваем при условии $y < 0$. Поскольку условия $y \geq 0$ и $y < 0$ не могут выполняться одновременно, в этом случае решений нет (решение — пустое множество $\emptyset$).

4. Объединение решений.Объединяя решения из двух случаев, получаем решение исходного неравенства: $[0; +\infty) \cup \emptyset = [0; +\infty)$.

Ответ: $y \in [0; +\infty)$.