Номер 191, страница 426 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 191, страница 426.

Условие.

191 a) $\frac{4}{|x + 2|} \geq 3 - x$;

б) $\frac{3}{|x - 1|} \geq 2x + 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\frac{4}{|x+2|} \ge 3-x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $|x+2| \ne 0$, следовательно, $x \ne -2$.

Левая часть неравенства $\frac{4}{|x+2|}$ всегда положительна при $x \ne -2$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть неположительна, то есть $3-x \le 0$, что равносильно $x \ge 3$.

В этом случае неравенство `(положительное число) $\ge$ (неположительное число)` всегда является истинным. Следовательно, все значения $x$ из промежутка $[3, +\infty)$ являются решениями. Это не противоречит ОДЗ.

Случай 2: Правая часть положительна, то есть $3-x > 0$, что равносильно $x < 3$.

В этом случае обе части неравенства положительны. Мы можем умножить обе части на положительный знаменатель $|x+2|$, сохранив знак неравенства:

$4 \ge (3-x)|x+2|$

Теперь необходимо раскрыть модуль $|x+2|$, рассмотрев два подслучая.

Подслучай 2.1: $x+2 > 0 \implies x > -2$. С учетом условия $x < 3$ из случая 2, мы рассматриваем интервал $x \in (-2, 3)$.

На этом интервале $|x+2| = x+2$. Неравенство принимает вид:

$4 \ge (3-x)(x+2)$

$4 \ge 3x + 6 - x^2 - 2x$

$4 \ge -x^2 + x + 6$

$x^2 - x - 2 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Так как парабола $y = x^2 - x - 2$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с рассматриваемым интервалом $(-2, 3)$: $((-\infty, -1] \cup [2, +\infty)) \cap (-2, 3) = (-2, -1] \cup [2, 3)$.

Подслучай 2.2: $x+2 < 0 \implies x < -2$. Это условие автоматически удовлетворяет условию $x < 3$.

В этом случае $|x+2| = -(x+2)$. Неравенство принимает вид:

$4 \ge (3-x)(-(x+2))$

$4 \ge -(3x+6-x^2-2x)$

$4 \ge x^2 - x - 6$

$x^2 - x - 10 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 10 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-10) = 41$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, \frac{1 + \sqrt{41}}{2}]$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x < -2$: $[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, \frac{1 + \sqrt{41}}{2}] \cap (-\infty, -2) = [\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, -2)$.

Теперь объединим решения, полученные во всех случаях:

Из случая 1: $[3, +\infty)$.

Из подслучая 2.1: $(-2, -1] \cup [2, 3)$.

Из подслучая 2.2: $[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, -2)$.

Общее решение является объединением этих множеств: $[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}, -2) \cup (-2, -1] \cup [2, 3) \cup [3, +\infty)$.

Объединяя последние два интервала, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [\frac{1-\sqrt{41}}{2}, -2) \cup (-2, -1] \cup [2, +\infty)$.

---

б)

Решим неравенство $\frac{3}{|x-1|} \ge 2x+5$.

ОДЗ: $x \ne 1$.

Левая часть неравенства всегда положительна. Рассмотрим два случая для правой части.

Случай 1: $2x+5 \le 0 \implies 2x \le -5 \implies x \le -2.5$.

Неравенство `(положительное число) $\ge$ (неположительное число)` всегда верно. Решение для этого случая: $x \in (-\infty, -2.5]$.

Случай 2: $2x+5 > 0 \implies x > -2.5$.

Обе части неравенства положительны, умножим на $|x-1| > 0$:

$3 \ge (2x+5)|x-1|$

Раскроем модуль.

Подслучай 2.1: $x-1 > 0 \implies x > 1$. Рассматриваем интервал $x \in (1, +\infty)$, так как условие $x > -2.5$ выполняется.

Тогда $|x-1| = x-1$. Неравенство принимает вид:

$3 \ge (2x+5)(x-1)$

$3 \ge 2x^2 - 2x + 5x - 5$

$0 \ge 2x^2 + 3x - 8 \implies 2x^2 + 3x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 8 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-8) = 9 + 64 = 73$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{4}$.

Решение неравенства $2x^2 + 3x - 8 \le 0$ есть промежуток $x \in [\frac{-3 - \sqrt{73}}{4}, \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}]$.

Пересечение этого решения с интервалом $(1, +\infty)$ дает $(1, \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}]$.

Подслучай 2.2: $x-1 < 0 \implies x < 1$. С учетом $x > -2.5$, рассматриваем интервал $x \in (-2.5, 1)$.

Тогда $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Неравенство принимает вид:

$3 \ge (2x+5)(1-x)$

$3 \ge 2x - 2x^2 + 5 - 5x$

$3 \ge -2x^2 - 3x + 5$

$2x^2 + 3x - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-2) = 25$. Корни: $x_1 = \frac{-3-5}{4}=-2$ и $x_2 = \frac{-3+5}{4}=0.5$.

Решение неравенства $2x^2 + 3x - 2 \ge 0$: $x \in (-\infty, -2] \cup [0.5, +\infty)$.

Пересечение этого решения с интервалом $(-2.5, 1)$ дает $(-2.5, -2] \cup [0.5, 1)$.

Объединим решения всех случаев, не забывая про ОДЗ ($x \ne 1$):

$(-\infty, -2.5] \cup ((-2.5, -2] \cup [0.5, 1)) \cup (1, \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}]$

Объединение первых двух множеств дает $(-\infty, -2]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [0.5, 1) \cup (1, \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}]$.